гомотопия что это такое
На практике возникают технические трудности с использованием гомотопий с определенными пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно порожденные пространства, Комплексы CW, или же спектры.
Содержание
Формальное определение
Если мы подумаем о втором параметр из ЧАС как раз тогда ЧАС описывает непрерывная деформация из ж в грамм: в момент времени 0 у нас есть функция ж а в момент времени 1 имеем функцию грамм. Второй параметр можно также рассматривать как «ползунок», позволяющий плавно переходить от ж к грамм когда ползунок перемещается от 0 к 1, и наоборот.
Характеристики
Примеры
Гомотопическая эквивалентность
Гомотопическая эквивалентность против гомеоморфизма
А гомеоморфизм является частным случаем гомотопической эквивалентности, в которой грамм ∘ ж равен идентификатору карты идентичностиИкс (не только гомотопный ему), и ж ∘ грамм равно idY. [4] : 0:53:00 Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Некоторые примеры:
Примеры
Нуль-гомотопия
Функция ж как говорят нуль-гомотопный если он гомотопен постоянной функции. (Гомотопия из ж к постоянной функции иногда называют нуль-гомотопия.) Например, карта ж от единичный круг S 1 в любое пространство Икс гомотопно нулю именно тогда, когда его можно непрерывно продолжить до отображения из единичный диск D 2 к Икс это согласуется с ж на границе.
Инвариантность
Гомотопическая эквивалентность важна, потому что в алгебраическая топология многие концепции гомотопический инвариант, то есть они соблюдают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если Икс и Y являются гомотопически эквивалентными пространствами, то:
Примером алгебраического инварианта топологических пространств, не являющегося гомотопически-инвариантным, является гомологии с компактным носителем (что, грубо говоря, гомологии компактификация, а компактификация не гомотопически-инвариантна).
Варианты
Относительная гомотопия
Чтобы определить фундаментальная группа, нужно понятие гомотопия относительно подпространства. Это гомотопии, сохраняющие элементы подпространства на месте. Формально: если ж и грамм являются непрерывными отображениями из Икс к Y и K это подмножество из Икс, то мы говорим, что ж и грамм гомотопны относительно K если существует гомотопия ЧАС : Икс × [0, 1] → Y между ж и грамм такой, что ЧАС(k, т) = ж(k) = грамм(k) для всех k ∈ K и т ∈ [0, 1]. Кроме того, если грамм это втягивание из Икс к K и ж это карта идентичности, это известно как сильная деформационный отвод из Икс к K.Когда K это точка, термин остроконечная гомотопия используется.
Изотопия
Если две заданные непрерывные функции ж и грамм из топологического пространства Икс в топологическое пространство Y находятся вложения, можно спросить, могут ли они быть связаны «через вложения». Это дает начало концепции изотопия, которая является гомотопией, ЧАС, в обозначениях, использованных ранее, так что для каждого фиксированного т, ЧАС(Икс, т) дает вложение. [6]
Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, согласованные на границе, можно показать, что они изотопны, используя Уловка Александра. По этой причине карта единичный диск в р 2 определяется ж(Икс, у) = (−Икс, −у) изотопен на 180 градусов вращение вокруг исходной точки, и поэтому карта идентичности и ж изотопны, потому что они могут быть связаны вращениями.
Времениподобная гомотопия
На Лоренцево многообразие, некоторые кривые выделяются как подобный времени (представляющий что-то, что движется только вперед, а не назад во времени, в каждом локальном кадре). А времяподобная гомотопия между двумя временные кривые является гомотопией такая, что кривая остается времениподобной при непрерывном переходе от одной кривой к другой. Нет замкнутая времениподобная кривая (CTC) на лоренцевом многообразии времяподобно гомотопно точке (то есть нулевое времяподобное гомотопно); такое многообразие поэтому называется многосвязный по времениподобным кривым. Такое многообразие, как 3-сфера возможно односвязный (по любому типу кривой), и все же быть времяподобные многосвязные. [7]
Характеристики
Подъемно-раздвижные свойства
Если у нас есть гомотопия ЧАС : Икс × [0,1] → Y и крышка п : Y → Y и нам дана карта час 0 : Икс → Y такой, что ЧАС0 = п ○ час 0 ( час 0 называется поднимать из час0), то мы можем поднять все ЧАС на карту ЧАС : Икс × [0, 1] → Y такой, что п ○ ЧАС = ЧАС. Свойство гомотопического подъема используется для характеристики расслоения.
Группы
Гомотопическая категория
Приложения
Основываясь на концепции гомотопии, методы расчета за алгебраический и дифференциальные уравнения были разработаны. Методы для алгебраических уравнений включают продолжение гомотопии метод [8] и метод продолжения (см. числовое продолжение). Методы для дифференциальных уравнений включают метод гомотопического анализа.
На практике возникают технические трудности с использованием гомотопий с определенными пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно порожденные пространства, Комплексы CW, или же спектры.
Содержание
Формальное определение
Если мы подумаем о втором параметр из ЧАС как раз тогда ЧАС описывает непрерывная деформация из ж в грамм: в момент времени 0 у нас есть функция ж а в момент времени 1 имеем функцию грамм. Второй параметр можно также рассматривать как «ползунок», позволяющий плавно переходить от ж к грамм когда ползунок перемещается от 0 к 1, и наоборот.
Характеристики
Примеры
Гомотопическая эквивалентность
Гомотопическая эквивалентность против гомеоморфизма
А гомеоморфизм является частным случаем гомотопической эквивалентности, в которой грамм ∘ ж равен идентификатору карты идентичностиИкс (не только гомотопный ему), и ж ∘ грамм равно idY. [4] : 0:53:00 Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Некоторые примеры:
Примеры
Нуль-гомотопия
Функция ж как говорят нуль-гомотопный если он гомотопен постоянной функции. (Гомотопия из ж к постоянной функции иногда называют нуль-гомотопия.) Например, карта ж от единичный круг S 1 в любое пространство Икс гомотопно нулю именно тогда, когда его можно непрерывно продолжить до отображения из единичный диск D 2 к Икс это согласуется с ж на границе.
Инвариантность
Гомотопическая эквивалентность важна, потому что в алгебраическая топология многие концепции гомотопический инвариант, то есть они соблюдают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если Икс и Y являются гомотопически эквивалентными пространствами, то:
Примером алгебраического инварианта топологических пространств, не являющегося гомотопически-инвариантным, является гомологии с компактным носителем (что, грубо говоря, гомологии компактификация, а компактификация не гомотопически-инвариантна).
Варианты
Относительная гомотопия
Чтобы определить фундаментальная группа, нужно понятие гомотопия относительно подпространства. Это гомотопии, сохраняющие элементы подпространства на месте. Формально: если ж и грамм являются непрерывными отображениями из Икс к Y и K это подмножество из Икс, то мы говорим, что ж и грамм гомотопны относительно K если существует гомотопия ЧАС : Икс × [0, 1] → Y между ж и грамм такой, что ЧАС(k, т) = ж(k) = грамм(k) для всех k ∈ K и т ∈ [0, 1]. Кроме того, если грамм это втягивание из Икс к K и ж это карта идентичности, это известно как сильная деформационный отвод из Икс к K.Когда K это точка, термин остроконечная гомотопия используется.
Изотопия
Если две заданные непрерывные функции ж и грамм из топологического пространства Икс в топологическое пространство Y находятся вложения, можно спросить, могут ли они быть связаны «через вложения». Это дает начало концепции изотопия, которая является гомотопией, ЧАС, в обозначениях, использованных ранее, так что для каждого фиксированного т, ЧАС(Икс, т) дает вложение. [6]
Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, согласованные на границе, можно показать, что они изотопны, используя Уловка Александра. По этой причине карта единичный диск в р 2 определяется ж(Икс, у) = (−Икс, −у) изотопен на 180 градусов вращение вокруг исходной точки, и поэтому карта идентичности и ж изотопны, потому что они могут быть связаны вращениями.
Времениподобная гомотопия
На Лоренцево многообразие, некоторые кривые выделяются как подобный времени (представляющий что-то, что движется только вперед, а не назад во времени, в каждом локальном кадре). А времяподобная гомотопия между двумя временные кривые является гомотопией такая, что кривая остается времениподобной при непрерывном переходе от одной кривой к другой. Нет замкнутая времениподобная кривая (CTC) на лоренцевом многообразии времяподобно гомотопно точке (то есть нулевое времяподобное гомотопно); такое многообразие поэтому называется многосвязный по времениподобным кривым. Такое многообразие, как 3-сфера возможно односвязный (по любому типу кривой), и все же быть времяподобные многосвязные. [7]
Характеристики
Подъемно-раздвижные свойства
Если у нас есть гомотопия ЧАС : Икс × [0,1] → Y и крышка п : Y → Y и нам дана карта час 0 : Икс → Y такой, что ЧАС0 = п ○ час 0 ( час 0 называется поднимать из час0), то мы можем поднять все ЧАС на карту ЧАС : Икс × [0, 1] → Y такой, что п ○ ЧАС = ЧАС. Свойство гомотопического подъема используется для характеристики расслоения.
Группы
Гомотопическая категория
Приложения
Основываясь на концепции гомотопии, методы расчета за алгебраический и дифференциальные уравнения были разработаны. Методы для алгебраических уравнений включают продолжение гомотопии метод [8] и метод продолжения (см. числовое продолжение). Методы для дифференциальных уравнений включают метод гомотопического анализа.