квантовая математика что это
А.Я.ХЕЛЕМСКИЙ
На страницах сайта по данной тематике опубликованы статьи:
Квантовая математика; сейчас это одна из математических наук и это довольно значительная часть большой науки Математики, имеющая весьма расплывчатые границы. Некоторые ученые и не подозревают, что занимаются квантовой математикой. Раньше по большей части говорили не «квантовая», а «некоммутативная» математика, а многие и сейчас предпочитают это название. Избегая формализованных и не понятных простому читателю определений, возможно ли описать, что подразумевается под этим термином?
Назревшая проблема заключалась в том, что был нужен математический язык, описывающий новые физические открытия, которые разрушили идиллическую гармонию «ньютоновской» или, если угодно, «лапласовской» картины мира. Условно назовем «лапласовскую» механику классической.
И вот этот идиллический мир классической механики в начале ХХ века рухнул!
Но оставим судьбы человечества в целом; что же, собственно, произошло в физике? Оказалось, что точного значения наблюдаемой в данном состоянии просто не существует, а имеет смысл говорить только о вероятности того, что это значение находится в том или ином числовом промежутке; вот и конец детерминистской картины мира.
Но для нас сейчас важнее всего не столько этот общий факт, сколько вот какая обнаруженная удивительная закономерность:
две физических величины, вообще говоря, не могут быть одновременно измерены с как угодно большой степенью точности, и не вследствие несовершенства приборов, а потому, что это в принципе невозможно.
Главный пример такого рода дает измерение двух физических величин, характеризующих движение частицы по прямой: речь идет о ее координате и о ее импульсе, равном скорости, умноженной на массу. Оказалось, что наш мир устроен так, что при одновременном измерении координаты и импульса в любом возможном состоянии мы находимся «в плену» у неравенства, которое называется соотношением неопределенности.
А теперь смотрите: если Вы совершенствуете прибор, измеряющий координату, то, в силу соотношения неопределенности, результаты одновременного измерения Вами импульса необходимо становятся все менее точными, и наоборот.
В 20-е годы началось, поначалу еще смутное, осознание того, какого сорта математика должна стоять, если можно так выразится, за подобным явлением.
В том гипотетическом математическом аппарате, который должен описывать эти странные законы квантовой механики, импульс и координата должны удовлетворять знаменитому ныне «каноническому коммутационному соотношению» (далее сокращенно ККС).
В середине 20-х годов два выдающихся физика, Гейзенберг и Шредингер предложили два с виду совершенно разных ответа. Получились две конкретных модели квантовой механики – «матричная» Гейзенберга и «волновая» Шредингера.
Гейзенберг предложил изображать координату не одним числом, а бесконечным набором чисел, зависящих от двух натуральных индексов (алгебра матриц). Его открытие тем более удивительно, что он сам (а это еще более поразительно) матриц не знал. Но мы, умные задним числом, можем сказать, что на самом деле он взял алгебру матриц, но не конечного размера, а бесконечных вправо и вниз, и таких, что на каждой строке и на каждом столбце только конечное число элементов отлично от нуля.
А между тем в математике уже более 10 лет было сделано открытие, которое подсказало бы этим выдающимся людям, что предмета спора на самом деле нет
А что же у нас? Оказывается, при рассмотрении схемы Гейзенберга мы неизбежно приходим к рассмотрению некоторого конкретного линейного пространства, в котором его, Гейзенберга, матрицы «записывают неограниченные линейные операторы в этом пространстве».
Так из матричной механики Гейзенберга и волновой механики Шредингера родилась единая «квантовая механика», использующая, как это стали говорить много лет спустя, аппарат квантовой математики.
Между прочим, это сейчас, на исходе века, мы воспринимаем подобное заявление как банальность, а тогда, в двадцатые, мысль о единстве обеих теорий оказалась отвергнутой обеими творцами. Эту точку зрения, (сейчас это почти банальность) не приняли оба творца, и каждый остался при своем мнении, что «его механика лучше, а математики пусть говорят, что хотят».
А теперь, завершая это «беллетристическое» отступление, я хочу сказать несколько общих фраз о взаимоотношениях математиков и физиков.
Но вот, наша затянувшаяся предыстория кончилась, и начинается история.
Но и помимо внешних удручающих обстоятельств само творчество Андрея Николаевича поистине драматично. Когда он всерьез занимался какой-либо проблемой, он по-настоящему «заболевал ею» и не мог от нее отвлечься; в результате, подарив миру свою очередную выдающуюся работу, он выходил из такого рода «творческого запоя» почти надломленным человеком.
Не правда ли, полная противоположность Эйнштейну, которого как, как вы, наверное, слышали, даже отец утешал в детстве: «Не горюй, Альберт, не всем же быть профессорами. »
Еще в детстве фон Нойманна заметили профессора Будапештского университета, и очень рано он стал считаться профессиональным математиком.
Канун переезда фон Нойманна в США как раз и является нашей точкой отсчета. Ведь именно тогда он и замыслил создать ту математику, на которой будут разговаривать квантовые механики.
Действительно, здесь он во многом преуспел. Ему удалось создать систему аксиом, которая и по сей день остается в основе большинства приложений, хотя, как выяснилось, и не решила всех проблем.
Следующий шаг фон Нойманна: различным квантово-механическим системам соответствуют, вообще говоря, различные алгебры определенного вида, состоящие из операторов, действующих в гильбертовом пространстве.
Здесь уместно сделать отступление чисто «человеческого» характера. Как современники отнеслись к этой новой деятельности фон Нойманна? Думаете, с энтузиазмом? Как бы не так! Это сейчас, по прошествии добрых 70 лет, когда математика спросят «что сделал фон Нойманн?», он, не задумываясь, начнет с алгебр фон Нойманна. А тогда? Хотя фон Нойманну было 27 лет, он уже был всемирно известен, хотя великим его еще не называли. В 30-м году у него за плечами уже и замечательные работы по основаниям математики, и открытие аменабельных групп, и замечательные продвижения в эргодической теории (в этой области только Колмогоров мог с ним сравниться), и работы по группам Ли, значительно облегчившие будущее решение (уже другими) пятой проблемы Гильберта. Но вот это последнее увлечение. Современники рассуждали приблизительно так: что ж, крупный математик «имеет право на маразм», не все же время заниматься по-настоящему важными вещами, пусть расслабится. (Подобное отношение разделялось большинством математиков еще в 60-е годы. «Красиво то оно красиво, да только что с этим делать. »)
Но подобное отношение современников для математики, увы, скорее типично, и особенно это касается вопроса о возможных приложениях. Вот что пишет сам фон Нойманн (смотрите посвященный ему двухтомник в серии «Классики науки», 1986 г.).
«Большая часть математики, которая стала полезной, развивалась без всякого намерения быть полезной и в ситуации, где никто, возможно, и не знал, в какой области она станет полезной; и не было даже никаких указаний на то, что это когда-либо произойдет. В целом, несомненно, верно, что в математике существует промежуток времени между математическим открытием и моментом, когда оно становится полезным; этот промежуток может длиться от 30 до 100 лет, иногда даже больше, и вся система развивается без определенной цели, без всякой связи с полезностью (usefulness) и без всякого стремления к развитию того, что полезно». И далее: «И мне кажется исключительно поучительным следить за ролью науки в повседневной жизни и отмечать, как в этой области принцип laisser faire приводит к неожиданным и поразительным результатам».
. А как же догадаться, что данная совершенно абстрактная работа пригодится?
На этом фоне особенно грустно читать близорукие статьи, скажем, в «Поиске», где нас поучают, что фундаментальные науки должны ориентироваться на скорейшие, сразу обозримые, приложения (мне это напоминает статьи о партийности искусства. )
Снова вернемся к фон Нойманну. Он чувствовал свою правоту и уверенно шел своей дорогой.
Итак, одно время фон Нойманн думал, что схватит Бога за бороду – что вот-вот найдет все «свои» алгебры. И действительно, первые впечатляющие успехи располагали к такому оптимизму.
В 30 г. им была доказана ныне знаменитая теорема, которую я даже сформулирую, ибо это первая по времени теорема квантовой математики. Она называется «теорема фон Нойманна о двойном коммутанте».
Первая теорема: нет коммутативных алгебр, кроме алгебр непрерывных функций!