пол и потолок числа в математике
Целая часть
Содержание
Обозначения и примеры [ | ]
Определения [ | ]
Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число): [7]
Свойства [ | ]
Пол и потолок как функции вещественной переменной [ | ]
Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:
Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.
При этом функция пол является:
Функция потолок является:
Связь функций пол и потолок [ | ]
Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:
Пол/потолок: неравенства [ | ]
Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами [7] :
n ⩽ x ⟺ n ⩽ ⌊ x ⌋ x ⩽ n ⟺ ⌈ x ⌉ ⩽ n n x ⟺ n ⌈ x ⌉ x n ⟺ ⌊ x ⌋ n <\displaystyle <\begin
Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.
Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:
Пол/потолок: сложение [ | ]
Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [9] :
Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:
Пол/потолок под знаком функции [ | ]
Имеет место следующее предложение: [10]
Пол/потолок: суммы [ | ]
n = ⌊ n m ⌋ + ⌊ n + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ n + m − 1 m ⌋ <\displaystyle n=\left\lfloor <\frac
⌊ m x ⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ x + m − 1 m ⌋ <\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+<\frac <1>
Имеет место более общее соотношение [12] :
Разложимость в ряд [ | ]
Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:
где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду
Применение [ | ]
Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.
Количество цифр в записи числа [ | ]
Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно [13]
Округление [ | ]
Бинарная операция mod [ | ]
x mod y = x − y ⌊ x / y ⌋ <\displaystyle x\,<\bmod <\,>>y=x-y\lfloor x/y\rfloor >
Дробная часть [ | ]
Количество целых точек промежутка [ | ]
В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно
Теорема Рэлея о спектре [ | ]
Тогда в ряду чисел
называемые последовательностями Битти, образуют разбиение натурального ряда. [16]
В информатике [ | ]
В языках программирования [ | ]
Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().
В системах вёрстки [ | ]
СОДЕРЖАНИЕ
Обозначение
Примеры
Верстка
В Латекс системе наборной, эти символы могут быть определены с \lfloor, \rfloor, \lceil и \rceil команд в математическом режиме, и расширены по размеру с использованием \left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceil и по \right\rceil мере необходимости.
Определение и свойства
Эквивалентности
Эти формулы можно использовать для упрощения выражений, связанных с полом и потолком.
Эти формулы показывают, как добавление целых чисел к аргументам влияет на функции:
Вышеупомянутое никогда не бывает верным, если n не является целым числом; однако для любых x и y выполняются следующие неравенства:
Отношения между функциями
Из определений ясно, что
Фактически, для целых n функции пола и потолка идентичны :
Отрицание аргумента меняет пол и потолок и меняет знак:
Отрицание аргумента дополняет дробную часть:
Функции пола, потолка и дробной части идемпотентны :
Результатом вложенных функций пола или потолка является самая внутренняя функция:
из-за свойства идентичности для целых чисел.
Коэффициенты
Если m положительно
При m = 2 из этого следует
Следующее можно использовать для преобразования полов в потолки и наоборот ( m положительное)
Для всех m и n строго положительных целых чисел:
которая при положительных и взаимно простых m и n сводится к
В более общем смысле, если m и n положительны,
Вложенные подразделения
Продолжение и расширение серий
для x не целое число.
В точках разрыва ряд Фурье сходится к значению, которое является средним его пределов слева и справа, в отличие от функций пола, потолка и дробной части: для фиксированного y и кратного x y данный ряд Фурье сходится к y / 2, а не к x mod y = 0. В точках непрерывности ряд сходится к истинному значению.
для x не целое число.
Приложения
Оператор мода
если y положительно,
и если y отрицательно,
Квадратичная взаимность
Во-первых, лемма Гаусса используется, чтобы показать, что символы Лежандра задаются формулами
Объединение этих формул дает квадратичную взаимность в виде
Существуют формулы, которые используют floor для выражения квадратичного характера малых чисел по модулю нечетных простых чисел p :
Округление
Количество цифр
Количество цифр в базе b положительного целого числа k равно
Факторы факториалов
Битти последовательность
Последовательность Битти показывает, как каждое положительное иррациональное число приводит к разделению натуральных чисел на две последовательности с помощью функции пола.
Постоянная Эйлера (γ)
Дзета-функция Римана (ζ)
В 1947 году ван дер Поль использовал это представление для создания аналогового компьютера для поиска корней дзета-функции.
Формулы для простых чисел
Ни одна из формул в этом разделе не имеет практического применения.
Решенные проблемы
Нерешенная проблема
Изучение проблемы Варинга привело к нерешенной проблеме:
Существуют ли такие натуральные числа k ≥ 6, что
Малер доказал, что таких k может быть только конечное число ; никто не известен.
Компьютерные реализации
Программное обеспечение для работы с электронными таблицами
В математике есть функции пола и потолка. Рассказываю, что это такое
Целая часть вещественного числа
Итак, целая часть числа означает его округление в большую или меньшую сторону. В первом случае функция называется полом, во втором — потолком.
Свое привычное обозначение функция целого числа приобрела лишь в начале 18 века благодаря Карлу Фридриху Гауссу. Именно он придумал вот такую форму записи — ([X]). Такое обозначение считалось классическим в течение 250 лет, пока канадский ученый Кеннет Айверсон в 1962 году не ввёл отдельные обозначения для функций пола и потолка:
Свойства функций пола и потолка
2. Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.
Слева — функция «потолок», справа — функция «пол»
3. Через функцию пола можно определить операцию вычисления остатка по модулю.
4. С помощью функций пола и потолка очень удобно считать количество целых точек промежутка.
Это может показаться тривиальным, но очень сильно упрощает жизнь, например, в языках программирования и при разработке алгоритмов.
5. Функции floor() и ceil () есть в синтаксисе C, C++ и SQL.
6. Функция пола тесно связана с весьма занимательным объектом комбинаторики — штурмическими словами (словами Штурма), которые находят применение в анализе сигналов, компьютерной графике, кристаллографии и в других областях науки и техники. О них я постараюсь рассказать в одном из следующих выпусков.
Путеводитель по каналу «Математика не для всех» — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM. Также есть группы в VK,Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
функции «пол» и «потолок»
 |
Здравствуйте. Имеется пара задачек на функции 
и 
, а именно:
1. в равенстве 
, где 
— целое неотрицательное число, а 
— рациональная константа, вынести 
за знак потолка.
2. даны 
и 
— дробные числа из открытого интервала 
, причем 
, а также натуральное число 
. Необходимо определить максимально допустимое значение 
, при котором выполняется равенство: 
.
Подскажите пожалуйста, разрешимы ли эти задачки в такой постановке (в особенности интересует первая задача) и если разрешимы, то как их решить или хотя бы с чего начать решение.
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось arseniiv 05.10.2013, 23:17, всего редактировалось 4 раз(а).
|
| Заслуженный участник |
|
|
| Заслуженный участник |
|
|
| Заслуженный участник |
 |
Последний раз редактировалось provincialka 11.10.2013, 18:26, всего редактировалось 2 раз(а).
|
Последний раз редактировалось kisupov 11.10.2013, 19:04, всего редактировалось 1 раз.
Представим числа и в виде взвешенных сумм разрядов:
Пусть 
– первый ошибочный разряд в двоичном представлении 
. Тогда если 
, то 
, а 
. Умножение чисел (1) на степень двойки 
не приводит к изменению значений разрядов 
и 
, а меняет лишь значения их весов. При этом
Таким образом, индекс ошибочного разряда остается неизменным. При округлении в соответствии с функцией 
все слагаемые сумм (2), начиная с 
отбрасываются (заменяются нулями), при этом отбрасывается также и ошибочное слагаемое, если оно имеет вес . И напротив, если 
, то его значение попадет в результатную целую часть 
. Таким образом, искомое неравенство: 
Подскажите пожалуйста, верны ли эти рассуждения?
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось provincialka 11.10.2013, 21:06, всего редактировалось 2 раз(а).
|
приношу извинения за некорректную формулировку. В оригинале задача звучит так:
определить максимальное отклонение , при котором , где для всех 
. Показатель — целое неотрицательное число.
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось provincialka 11.10.2013, 21:47, всего редактировалось 2 раз(а).
Ваше условие можно переписать в виде 
, где 
— общее значение целых частей. Отсюда следует ограничение на . Но для доказательства обратного соотношения нужно потребовать еще, что 
, без этого ограничения 
.
Кстати, среди значений нет максимального, есть только супремум.
|
Последний раз редактировалось kisupov 11.10.2013, 21:51, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось provincialka 11.10.2013, 22:03, всего редактировалось 3 раз(а).
Ну, не хотелось бы давать полного решения. Два числа 
лежат в одном промежутке длиной 1. Какой может быть разность между ними?
Ваше рассуждение в общем верно, только трудно читать. И оно какое-то нестрогое. Какие-то взвешенные суммы, когда это просто двоичное разложение. Мне кажется, все можно сделать короче и яснее, без рядов.
а уж если пользуетесь рядами, упомяните, что коэффициенты не могут быть все равны 1, начиная с некоторого.
|
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Потолок числа
Округление — замена числа на его приближённое значение (с определённой точностью), записанное с меньшим количеством значащих цифр. Модуль разности между заменяемым и заменяющим числом называется ошибкой округления.
Округление применяется для представления значений и результатов вычислений с тем количеством знаков, которое соответствует реальной точности измерений или вычислений, либо той точности, которая требуется в конкретном приложении. Округление в ручных расчётах также может использоваться для упрощения вычислений в тех случаях, когда погрешность, вносимая за счёт ошибки округления, не выходит за границы допустимой погрешности расчёта.
Содержание
Общий порядок округления и терминология [ | ]
Методы [ | ]
В разных сферах могут применяться различные методы округления. Во всех этих методах «лишние» знаки обнуляют (отбрасывают), а предшествующий им знак корректируется по какому-либо правилу.
Варианты округления 0,5 к ближайшему целому [ | ]
Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю. Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:
Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.
Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления (см. выше). Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений, которые далее будут обрабатываться совместно, может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм, выражаемых в рублях и копейках. В реестре из 10 000 строк (если считать копеечную часть каждой суммы случайным числом с равномерным распределением, что обычно вполне допустимо) окажется в среднем около 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50. При округлении всех таких строк по правилам математического округления «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной.
Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина из них окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.
Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса.
Обозначения [ | ]
В стандарте Юни зафиксированы следующие символы:
Применения [ | ]
Округление используется для того, чтобы работать с числами в пределах того количества знаков, которое соответствует реальной точности параметров вычислений (если эти значения представляют собой измеренные тем или иным образом реальные величины), реально достижимой точности вычислений либо желаемой точности результата. В прошлом округление промежуточных значений и результата имело прикладное значение (так как при расчётах на бумаге или с помощью примитивных устройств типа абака учёт лишних десятичных знаков может серьёзно увеличить объём работы). Сейчас оно остаётся элементом научной и инженерной культуры. В бухгалтерских приложениях, кроме того, использование округлений, в том числе промежуточных, может требоваться для защиты от вычислительных ошибок, связанных с конечной разрядностью вычислительных устройств.
Округление при работе с числами ограниченной точности [ | ]
Реальные физические величины всегда измеряются с некоторой конечной точностью, которая зависит от приборов и методов измерения и оценивается максимальным относительным или абсолютным отклонением неизвестного истинного значения от измеренного, что в десятичном представлении значения соответствует либо определённому числу значащих цифр, либо определённой позиции в записи числа, все цифры после (правее) которой являются незначащими (лежат в пределах погрешности измерения). Сами измеренные параметры записываются с таким числом знаков, чтобы все цифры были надёжными, возможно, последняя — сомнительной. Погрешность при математических операциях с числами ограниченной точности сохраняется и изменяется по известным математическим законам, поэтому когда в дальнейших вычислениях возникают промежуточные значения и результаты с больши́м числом цифр, из этих цифр только часть являются значимыми. Остальные цифры, присутствуя в значениях, фактически не отражают никакой физической реальности и лишь отнимают время на вычисления. Вследствие этого промежуточные значения и результаты при вычислениях с ограниченной точностью округляют до того количества знаков, которое отражает реальную точность полученных значений. На практике обычно рекомендуется при длинных «цепочных» ручных вычислениях сохранять в промежуточных значениях на одну цифру больше. При использовании компьютера промежуточные округления в научно-технических приложениях чаще всего теряют смысл, и округляется только результат.
Округление рассчитанного значения погрешности [ | ]
Обычно в окончательном значении рассчитанной погрешности оставляют только первые одну-две значащие цифры. По одному из применяемых правил, если значение погрешности начинается с цифр 1 или 2 [5] (по другому правилу — 1, 2 или 3 [6] ), то в нём сохраняют две значащих цифры, в остальных случаях — одну, например: 0,13; 0,26; 0,3; 0,8. То есть каждая декада возможных значений округляемой погрешности разделена на две части. Недостаток этого правила состоит в том, что относительная погрешность округления изменяется значительным скачком при переходе от числа 0,29 к числу 0,3. Для устранения этого предлагается каждую декаду возможных значений погрешности делить на три части с менее резким изменением шага округления. Тогда ряд разрешённых к употреблению округлённых значений погрешности получает вид:
Пересчёт значений физических величин [ | ]
Эмпирические правила арифметики с округлениями [ | ]
В тех случаях, когда нет необходимости в точном учёте вычислительных погрешностей, а требуется лишь приблизительно оценить количество точных цифр в результате расчёта по формуле, можно пользоваться набором простых правил округлённых вычислений [8] :
Несмотря на нестрогость, приведённые правила достаточно хорошо работают на практике, в частности, из-за достаточно высокой вероятности взаимопогашения ошибок, которая при точном учёте погрешностей обычно не учитывается.
Ошибки [ | ]
Довольно часто встречаются злоупотребления некруглыми числами. Например: