поле создано круговым витком с током
Поле создано круговым витком с током
Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции :
Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.
Здесь – расстояние от данного участка Δ до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ0 – магнитная постоянная. Направление вектора 
определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:
|
которая уже приводилась в § 1.16.
Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле
|
где – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора 
также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.
Поясним понятие циркуляции вектора 
Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δ этого контура можно определить касательную составляющую 
вектора 
в данном месте, то есть определить проекцию вектора 
на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).
Циркуляцией вектора 
называют сумму произведений 
Δ, взятую по всему контуру :
 |
Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.
Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора 
магнитного поля постоянных токов по любому контуру всегда равна произведению магнитной постоянной μ0 на сумму всех токов, пронизывающих контур:
|
Теорема о циркуляции в данном примере выражается соотношением:
 |
Теорема о циркуляции в общем виде следует из закона Био–Савара и принципа суперпозиции.
Этот пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции 
может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую структуру поля.
Имеется немало практически важных примеров расчета магнитных полей с помощью теоремы о циркуляции. Одним из таких примеров является задача вычисления поля тороидальной катушки (рис. 1.17.3).
Предполагается, что катушка плотно, то есть виток к витку, намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса изображена на рис. 1.17.3. Применим теорему о циркуляции к контуру в виде окружности, совпадающей с изображенной на рис. 1.17.3 линией индукции магнитного поля. Из соображений симметрии ясно, что модуль вектора 
одинаков вдоль всей этой линии. По теореме о циркуляции можно записать:
| ∙ 2π = μ0, |
где – полное число витков, а – ток, текущий по виткам катушки. Следовательно,
|
На рис. 1.17.4 изображено магнитное поле катушки конечной длины. Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри него.
В случае бесконечно длинного соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно получить непосредственно с помощью теоремы о циркуляции, применив ее к прямоугольному контуру, показанному на рис. 1.17.5.
Это выражение совпадает с полученной ранее формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.
ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ПРОВОДНИКОМ С ТОКОМ
Если источник поля не обладает одной из рассмотренных симметрий, интегральное уравнение не позволяет найти поле. В этом случае нужны другие подходы.
Закон Био—Савара
Имеем участок проводника с током (рис. 8.12). Как найти поле, создаваемое этим участком, в произвольной точке?
Разобьем проводник на маленькие элементы. Пусть А/, — один из таких элементов. Направление вектора А/, совпадает с направлением тока. Проведем из элемента А/, вектор А г. в точку, в которой ищем поле. Элемент А/, создает в этой точке поле с индукцией АВп равной
Полное поле в рассматриваемой точке найдем суммированием полей от всех элементов проводника (рис. 8.13):
Тот же рецепт в интегральной форме:
Это и есть закон Био—-Савара. Он является следствием уравнений (8.1), (8.2).
Поле кругового витка с током
Мы найдем поле лишь на оси симметрии (рис. 8.14). Разбиваем виток на элементы d/. Имеем:
/ — единичный вектор вдоль оси х. Далее, В = Jd В = Jd BL + jd Br При интегрировании, как легко видеть, Jdi^ =0 и
Учтено, что а, г — постоянны для всех точек кольца (именно поэтому мы ограничились точками на оси симметрии; для произвольной точки интеграл вообще не берется в элементарных функциях). Так
Закон Био Савара Лапласа
Закон Био Савара Лапласа — Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемая отдельными участками токов.
.
Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:
.
Закон Био-Савара-Лапласа для некоторых токов:
Магнитное поле прямого тока: 
.
Магнитное поле кругового тока: 
.
dB — магнитная индукция;
dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током;
— магнитная постоянная;
μ — относительная магнитная проницаемость (среды);
I — сила тока;
R — расстояние от провода до точки, где мы вычисляем магнитную индукцию;
α — угол между вектором dl и r.
В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля:
где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r — положение точек контура γ, dr — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); μ0 — магнитная постоянная; r,r0 — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.
В принципе контур γ может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).
В случае простого контура, ток I одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).
Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:
где 
— вектор, описывающий кривую проводника с током I, r — модуль , 
— вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника 
.
Пример решения задачи закона Био Савара Лапласа.
Применим закон Био — Савара — Лапласа для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае «к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии r0 от провода. Из рис. 1 видно, что
r =R/sinα, dl =rdα/sinα = R dα/ sin 2 α.
Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:
dB = (μ0 μ/4π) I R sinα sin 2 α dα /R 2 sin 2 α = (μ0 μ/4π) I sinα dα /R.
Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до π. Следовательно,
B = ∫ dB = (μ0μ/4π) I/R∫ sinα dα = (μ0 μ/4π) 2I/R.
Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током
B = (μ 0 μ/4π) 2I/R,
где R – кратчайшее расстояние от оси проводника.
Аналогичным образом можно найти магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 2). Как следует из рисунка, все элементы кругового тока создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin α=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно закону Био-Савара-Лапласа,
dB=(μ0 μ/4π) I/R 2 dl. Тогда
Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна B = μ 0 μI/2R.
Магнитное поле и его характеристики
теория по физике 🧲 магнетизм
Магнитное поле — особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися электрическими частицами.
Основные свойства магнитного поля
Вектор магнитной индукции
За единицу магнитной индукции можно принять магнитную индукцию однородного поля, котором на участок проводника длиной 1 м при силе тока в нем 1 А действует со стороны поля максимальная сила, равна 1 Н. 1 Н/(А∙м) = 1 Тл.
Модуль вектора магнитной индукции — физическая величина, равная отношению максимальной силы, действующей со стороны магнитного поля на отрезок проводника с током, к произведению силы тока и длины проводника:
За направление вектора магнитной индукции принимается направление от южного полюса S к северному N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле.
Наглядную картину магнитного поля можно получить, если построить так называемые линии магнитной индукции. Линиями магнитной индукции называют линии, касательные к которым направлены так же, как и вектор магнитной индукции в данной точке поля.
Особенность линий магнитной индукции состоит в том, что они не имеют ни начала, ни конца. Они всегда замкнуты. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми. Поэтому магнитное поле — вихревое поле.
Замкнутость линий магнитной индукции представляет собой фундаментальное свойство магнитного поля. Оно заключается в том, что магнитное поле не имеет источников. Магнитных зарядов, подобным электрическим, в природе нет.
Напряженность магнитного поля
μ — магнитная проницаемость среды (у воздуха она равна 1), μ 0 — магнитная постоянная, равная 4 π · 10 − 7 Гн/м.
Направление вектора магнитной индукции и способы его определения
Чтобы определить направление вектора магнитной индукции, нужно:
В пространстве между полюсами постоянного магнита вектор магнитной индукции выходит из северного полюса:
При определении направления вектора магнитной индукции с помощью витка с током следует применять правило буравчика:
При вкручивании острия буравчика вдоль направления тока рукоятка будет вращаться по направлению вектора → B магнитной индукции.
Отсюда следует, что:
Способы обозначения направлений векторов:
| Вверх |  |
| Вниз |  |
| Влево |  |
| Вправо |  |
| На нас перпендикулярно плоскости чертежа |  |
| От нас перпендикулярно плоскости чертежа |  |
Пример №1. На рисунке изображен проводник, по которому течет электрический ток. Направление тока указано стрелкой. Как направлен (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) вектор магнитной индукции в точке С?
Если мысленно начать вкручивать острие буравчика по направлению тока, то окажется, что вектор магнитной индукции в точке С будет направлен к нам — к наблюдателю.
Магнитное поле прямолинейного тока
Линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводнику. Центр окружностей совпадает с осью проводника.
Если ток идет вверх, то силовые линии направлены против часовой стрелки. Если вниз, то они направлены по часовой стрелке. Их направление можно определить с помощью правила буравчика или правила правой руки:
Правило буравчика (правой руки)
Если большой палец правой руки, отклоненный на 90 градусов, направить в сторону тока в проводнике, то остальные 4 пальца покажут направление линий магнитной индукции.
Модуль вектора магнитной индукции на расстоянии r от оси проводника:
Магнитное поле кругового тока
Силовые линии представляют собой окружности, опоясывающие круговой ток. Вектор магнитной индукции в центре витка направлен вверх, если ток идет против часовой стрелки, и вниз, если по часовой стрелке.
Определить направление силовых линий магнитного поля витка с током можно также с помощью правила правой руки:
Если расположить четыре пальца правой руки по направлению тока в витке, то отклоненный на 90 градусов большой палец, покажет направление вектора магнитной индукции.
Модуль вектора магнитной индукции в центре витка, радиус которого равен R:
Модуль напряженности в центре витка:
Пример №2. На рисунке изображен проволочный виток, по которому течет электрический ток в направлении, указанном стрелкой. Виток расположен в вертикальной плоскости. Точка А находится на горизонтальной прямой, проходящей через центр витка. Как направлен (вверх, вниз, влево, вправо) вектор магнитной индукции магнитного поля в точке А?
Если мысленно обхватить виток так, чтобы четыре пальца правой руки были бы направлены в сторону тока, то отклоненный на 90 градусов большой палец правой руки показал бы, что вектор магнитной индукции в точке А направлен вправо.
Магнитное поле электромагнита (соленоида)
Соленоид — это катушка цилиндрической формы, витки которой намотаны вплотную, а длина значительно больше диаметра.
Число витков в соленоиде N определяется формулой:
l — длина соленоида, d — диаметр проволоки.
Линии магнитной индукции являются замкнутыми, причем внутри соленоида они располагаются параллельно друг другу. Поле внутри соленоида однородно.
Если ток по виткам соленоида идет против часовой стрелки, то вектор магнитной индукции → B внутри соленоида направлен вверх, если по часовой стрелке, то вниз. Для определения направления линий магнитной индукции можно воспользоваться правилом правой руки для витка с током.
Модуль вектора магнитной индукции в центральной области соленоида:
Модуль напряженности магнитного поля в центральной части соленоида:
Алгоритм определения полярности электромагнита
Пример №3. Через соленоид пропускают ток. Определите полюсы катушки.
Ток условно течет от положительного полюса источника тока к отрицательному. Следовательно, ток течет по виткам от точки А к точке В. Мысленно обхватив соленоид пальцами правой руки так, чтобы четыре пальца совпадали с направлением тока в витках соленоида, отставим большой палец на угол 90 градусов. Он покажет направление линий магнитной индукции внутри соленоида. Проделав это, увидим, что линии магнитной индукции направлены вправо. Следовательно, они выходят из В, который будет являться северным полюсом. Тогда А будет являться южным полюсом.
На рисунке изображён круглый проволочный виток, по которому течёт электрический ток. Виток расположен в вертикальной плоскости. В центре витка вектор индукции магнитного поля тока направлен
а) вертикально вверх в плоскости витка
б) вертикально вниз в плоскости витка
в) вправо перпендикулярно плоскости витка
г) влево перпендикулярно плоскости витка
Алгоритм решения
Решение
По условию задачи мы имеем дело с круглым проволочным витком. Поэтому для определения вектора → B магнитной индукции мы будем использовать правило правой руки.
Чтобы применить это правило, нам нужно знать направление течение тока в проводнике. Условно ток течет от положительного полюса источника к отрицательному. Следовательно, на рисунке ток течет по витку в направлении хода часовой стрелки.
Теперь можем применить правило правой руки. Для этого мысленно направим четыре пальца правой руки в направлении тока в проволочном витке. Теперь отставим на 90 градусов большой палец. Он показывает относительно рисунка влево. Это и есть направление вектора магнитной индукции.
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Магнитная стрелка компаса зафиксирована на оси (северный полюс затемнён, см. рисунок). К компасу поднесли сильный постоянный полосовой магнит и освободили стрелку. В каком положении установится стрелка?
а) повернётся на 180°
б) повернётся на 90° по часовой стрелке
в) повернётся на 90° против часовой стрелки
г) останется в прежнем положении
Алгоритм решения
Решение
Одноименные полюсы магнитов отталкиваются, а разноименные притягиваются. Изначально южный полюс магнитной стрелки находится справа, а северный — слева. Полосовой магнит подносят к ее южному полюсу северной стороной. Поскольку это разноименные полюса, положение магнитной стрелки не изменится.
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Непосредственно над неподвижно закреплённой проволочной катушкой вдоль её оси на пружине подвешен полосовой магнит (см. рисунок). Куда начнёт двигаться магнит сразу после замыкания ключа? Ответ поясните, указав, какие физические явления и законы Вы использовали для объяснения.
Алгоритм решения
Решение
Чтобы определить направление тока в соленоиде, посмотрим на расположение полюсов источника тока. Ток условно направлен от положительного полюса к отрицательному. Следовательно, относительно рисунка ток в витках соленоида направлен по часовой стрелке.
Зная направление тока в соленоиде, можно определить его полюса. Северным будет тот полюс, из которого выходят линии магнитной индукции. Определить их направление поможет правило правой руки для соленоида. Мысленно обхватим соленоид так, чтобы направление четырех пальцев правой руки совпадало с направлением тока в витках соленоида. Теперь отставленный на 90 градусов большой палец покажет направление вектора магнитной индукции. Проделав все манипуляции, получим, что вектор магнитной индукции направлен вниз. Следовательно, внизу соленоида расположен северный полюс, а вверху — южный.
Известно, что одноименные полюса магнитов отталкиваются, а разноименные — притягиваются. Подвешенный полосовой магнит обращен к южному полюсу соленоида северным полюсом. А это значит, что при замыкании электрической цепи он будет растягивать пружину, притягиваясь к соленоиду (двигаться вниз).
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить