потенциальная энергия частицы в силовом поле

Беседа 2. Потенциальная энергия

Коллега, о потенциальной энергии, пожалуйста, поподробнее.

Вы, мой друг, совершенно правильно интересуетесь важнейшей составляющей полной энергии.

Принято считать, что потенциальная энергия является частью общей энергии системы, зависящей от взаимного расположения материальных частиц, составляющих эту систему, и от их положений во внешнем силовом поле (гравитационное, электрическое поле).

Силовым полем мы называем ту часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила.

Численно потенциальная энергия системы в данном её положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при её перемещении из этого положения в то, где потенциальная энергия равна нулю.

Коллега, энергией обладает только пробное тело в потенциальном поле или потенциальное поле тоже?

Для ответа на Ваш вопрос открываем БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) и в разделе «Поля физические» читаем (дословно):
«Поля физические, особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами полей физических могут служить электромагнитное и гравитационное поля. ».

Отсюда следует, что потенциальное поле является материальной средой. Значит, как и любая материальная среда, это поле обладает энергией (соответственно, и массой). Кстати, это подтверждается, к примеру, наличием в поле электромагнитных волн, которые являются колебаниями этой материальной среды.

Конкретные границы поля определить сложно, поэтому физики давно привыкли оперировать энергией, содержащейся в единице объёма, то есть – объёмной плотностью энергии потенциального поля (измеряется в Дж/м 3 ). Возьмём, к примеру, книгу Зильбермана «Электричество и магнетизм» (Наука, М., 1970) и на стр. 136 читаем (дословно):
«В плоском конденсаторе и вообще в однородном поле плотность энергии, т. е. энергия, содержащаяся в единице объёма, постоянна и равна полной энергии, делённой на объём».

Коллега, раз уж потенциальное поле является материальной средой, то оно должно характеризоваться конкретными параметрами, которые можно вычислить и измерить.

Вы совершенно правы. Мы уже выяснили, что электрическое (потенциальное) поле характеризуется таким параметром, как объёмная плотность энергии (далее – давление, Дж/м 3 или Н/м 2 ). Кроме этого, потенциальное поле характеризуется потенциалом и его градиентом – напряженностью поля. Причем, давление, потенциал и напряженность характеризуют потенциальное поле в данной его точке, независимо от наличия в этой точке пробного тела, ибо поле, как мы уже знаем, само обладает энергией и массой.

Если потенциальную энергию (W_П, Дж) отнести к единичной массе (m, кг) или к единичному электрическому заряду (q, Кл), то получим гравитационный (v 2 = W_П/m, Дж/кг) или электрический (U = W_П/q, Дж/Кл) потенциалы.

Градиентом потенциала в данной его точке является напряженность поля:
— для гравитационного поля: g = – grad v 2 ;
— для электрического: E = – grad U (о знаке речь пойдет ниже).

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis – шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины от одной точки пространства к другой.

С удалением от центра поля изменяется не только потенциал, но и потенциальная энергия. И её градиентом является сила, которую мы называем силой тяготения.

Уравнение F = – grad W_П показывает, что работа сил вдоль замкнутой траектории в потенциальном поле всегда равна нулю.

Коллега, какие единицы измерения наиболее приемлемы для вышеназванных параметров?

Очень хороший вопрос. СИЛА измеряется в ньютонах (Н = кг*м/с 2 ) или в Дж/м. Второй вариант записи более приемлемый, ибо сразу даёт нам указание на то, что сила является всего лишь ГРАДИЕНТОМ ЭНЕРГИИ (Дж/м). Это важно, ибо упрощает дальнейшее понимание физических процессов. Кстати, это касается не только силы, но и таких параметров, как давление и потенциал.

ПОТЕНЦИАЛ измеряется в м 2 /с 2 или в Дж/кг (для гравитационного поля) и в (кг/Кл)*( м 2 /с 2 ) или Дж/Кл (для электрического поля). И здесь более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает на значение потенциальной энергии, отнесенной к единице массы (Дж/кг) для гравитационного поля или отнесенной к единице электрического заряда (Дж/Кл) для электрического поля.

И наконец, коллега, давайте рассмотрим, как определяется значение потенциальной энергии.

Пожалуй, теперь мы готовы решать и эту проблему. Значение потенциальной энергии определяется двумя способами:
— упрощенный (приближенный) – для однородного поля;
— общий (истинный) – для неоднородного поля, которое нас реально и окружает.

Потенциальное поле можно условно считать однородным, если вектор напряженности во всех его точках имеет одно и то же значение и направление. К примеру, для гравитационного поля это правило можно применить только у поверхности Земли на небольшом её участке (скажем, в лабораторном опыте). В этом случае для упрощения расчетов значение потенциальной энергии пробного тела на поверхности Земли условно принимается равной нулю, а её значение в любой другой точке определяется из уравнения:

W_П = mgh, Дж,
где g – напряженность гравитационного поля (Н/кг), а h – вертикальное расстояние (м) от поверхности Земли до пробного тела массой m (кг).

Здесь знак перед значением потенциальной энергии принципиального значения не имеет.

Коллега, но ведь это и есть наиболее распространенный способ определения потенциальной энергии.

К сожалению, многие учебники физики на этом и завершают определение потенциальной энергии. Но не все. Взять, к примеру, Общий курс физики Сивухина (Москва, МФТИ, 2005) или американский курс Физики в переводе под редакцией Ахматова (Москва, Наука, 1974).

Здесь рассматривается:
— уже известный нам способ определения потенциальной энергии пробного тела в однородном поле тяжести у поверхности Земли (том 1, стр. 144-145 первого источника и часть III, стр.152-157 второго источника);
— и общий способ определения потенциальной энергии для неоднородного поля (том 1, стр. 145-146 первого источника и часть III, стр.157-159 второго источника).

Общий способ расчета дает уже отрицательное значение потенциальной энергии:
— уравнение (25.6) W(U) = – GMm/r в первом источнике и
— уравнение W(Ur) = – GMm/r – во втором.

Отрицательное значение потенциальной энергии здесь объясняется следующим образом:
— в первом источнике (цитата): «Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна»;
— во втором источнике дано доказательство правильности уравнения W(Ur) = – GMm/r.

И действительно, свободно падающее к центру поля тело теряет свою потенциальную энергию, которая переходит в кинетическую. Значит, потенциальная энергия с уменьшением расстояния между центрами масс (M и m) уменьшается и, наоборот, с увеличением расстояния – увеличивается.

Учитывая, что в уже известном нам уравнении W_П = – GMm/r символ радиуса находится в знаменателе, то предельно ясно, что с увеличением расстояния (значение радиуса стремится к бесконечности) потенциальная энергия увеличивается до… нуля. Такое возможно только в том случае, если потенциальная энергия во всяком другом положении отрицательна.

Вывод: потенциальная энергия для всех материальных частиц отрицательна.

Отсюда следует, что значение гравитационного потенциала v 2 = W_П/m = – GM/r тоже отрицательно. И подтверждением этому является уравнение (3) в разделе «Тяготение» (стр. 772) Физического Энциклопедического Словаря или аналогичного раздела Большой Советской Энциклопедии.

Аналогично определяется значение потенциальной энергии и электрического потенциала в электрическом поле. Причем далее мы убедимся в том, что потенциальная энергия и её объёмная плотность (давление) ОДИНАКОВЫ и для гравитационного, и для электрического полей.

Коллега, теперь попробуйте записать Ваше высказывание в виде формулы.

Формулы пишут математики, а физики пользуются уравнениями. Необходимые уравнения здесь уже приводились. Однако попробуем, все же, обойтись пока без них, тем более – без «формул».

Для этого используем бытовые наблюдения, которые подсказывают: чтобы испарить воду, кипящую в чайнике, нужно сжечь некоторое количество дров или газа. Другими словами, нужно совершить работу. С помощью термометра можно убедиться, что температура кипящей воды и температура пара над ней одинаковы. Следовательно, одинакова и средняя энергия движения частиц в кипящей воде и в паре.

Вывод: тепловая энергия, передаваемая кипящей воде от топлива, преобразуется в энергию взаимодействия частиц испаряющейся воды. Значит, энергия связи частиц в кипящей воде меньше, чем в водяном паре. Но в паре эта энергия практически равна нулю, следовательно, энергия взаимодействия частиц в жидкости меньше нуля, т.е. отрицательна.

Коллега, Ваши доводы убедительны и примеры Вы приводите неопровержимые. Однако не все думают так же.

Однако математики так не думают. Для них гравитационное поле является ОДНОРОДНЫМ с неизменной напряженностью гравитационного поля (вроде этот параметр и не зависит от радиуса). Значение потенциальной энергии они определяют по упрощенной формуле W = mgh. Они не связывают h с радиусом поля, а считают его простым отрезком между двумя произвольными точками этого поля. Поэтому для них потенциальная энергия может принимать нулевое значение в любой понравившейся им точке. Нонсенс, но бывает и такое.

Но есть ещё и «физико-математики». Их мнение зависит от того, насколько они физики или математики.

Коллега, почему Вы считаете, что математики «тяготеют» к однородному полю?

В подтверждение этому открываем Краткий курс математического анализа (Бермант, Араманович, 2005) и на стр. 520 в разделе «Теория поля» читаем:
«Векторное поле называется однородным, если А(Р) — постоянный вектор, т.е. Ах, Аy и Az — постоянные величины.
Примером однородного поля может служить, например, поле тяжести».

Теперь Вы и сами видите, что математики гравитационное поле называют «полем тяжести» и «всерьёз» считают его однородным. И это не просто безобидное заблуждение, ибо оно мешает нам осознать Природу гравитации. Однако, об этом мы поговорим немного позже.

Источник

Потенциальная энергия частицы в силовом поле

Пружина – это устройство для временного накопления энергии за счет упругой деформации под действием нагрузки. С точки зрения классической физики, пружину можно рассматривать как устройство, накапливающее потенциальную энергию путём изменения расстояния между атомами эластичного материала. Накопленная энергия может использоваться для передачи движения, для осуществления контроля за движением или для поддержания определенного расстояния между деталями. Материалом пружины могут служить газ (воздух в автомобильных шинах), жидкость (масло в гидравлических амортизаторах), металл (стальные рессоры). Однако под «механическими пружинами» обычно понимают пружины из твердых материалов. Чаще всего пружины делают из стали, латуни и бронзы, но применяются также резина, пластики и специальные сплавы металлов.

Наиболее распространены витые, или винтовые, пружины. Бывают также спиральные, плоские, или пластинчатые, и тарельчатые пружины. Спиральная пружина в виде металлической ленты, свернутой в плоскую спираль, чаще всего применяется в часах в качестве заводной или волоска. Из плоских пружин, скрепленных на одном или обоих концах, состоит листовая рессора, часто применяемая в автомобильных подвесках. Тарельчатая пружина представляет собой металлический диск или набор дисков. Одна сила прикладывается по окружности наибольшей тарелки, а другая, противоположная, – в центре.

Пружина внутри безмена, на котором биолог взвешивает морского осетра, деформируется в соответствии с законом Гука. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины при этом возрастает по закону , где – изменение длины пружины.

В конструкции бельевой прищепки использована оригинальная пружина, изготовленная из полоски металла. Запасенная при сжатии пружины потенциальная энергия упругой деформации после освобождения пружины переходит в кинетическую энергию движения зажимающих концов прищепки.

Материалы взяты с сайта http://www.krugosvet.ru

То обстоятельство, что работа потенциальных сил в случае стационарного поля сил зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии. Представим себе стационарное поле потенциальных сил, в котором мы перемещаем частицу из разных точек в некоторую фиксированную точку О. Так как работа сил поля не зависит от формы траектории, то остается зависимость ее только от положения точки (при фиксированной точке О). А это значит, что данная работа будет зависеть только от радиус-вектора точки .

Функцию называют потенциальной энергией частицы в данном поле.

Найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис.3.11). Так как работа не зависит от формы траектории, то выберем траекторию, проходящую через точку О. Тогда работа на пути 1О2 может быть представлена как . Учитывая соотношение (3.9), эту работу можно записать в следующем виде:

Выражение, стоящее справа, – убыль потенциальной энергии, то есть разность потенциальной энергии частицы в начальном и конечном положении. Таким образом, работа потенциальных сил поля при перемещении частицы из положения 1 в положение 2 равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле. Следует отметить: потенциальную энергию следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, создающих силовое поле. При данном характере взаимодействия частицы с окружающими телами потенциальная энергия частицы зависит только от ее положения относительно этих тел.

Таким образом, физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а разность потенциальных энергий в двух положениях частицы, поэтому можно положить потенциальную энергию в некоторой точке пространства равной любому заданному значению, например, нулю. Тогда во всех остальных точках ее значение будет определяться однозначно, то есть потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, так как ни одно явление в природе или технике не определяется значением самой потенциальной энергии, во все формулы входит только разность значений энергии в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает.

Соотношение (3.10) дает возможность найти выражение для для любого стационарного поля потенциальных сил. Для этого нужно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия. Именно так и было сделано при вычислении работы в поле упругих сил и в поле силы тяжести. Из (3.7) видно, что потенциальная энергия в поле упругих сил , если принять потенциальную энергию недеформированной пружины равной нулю. Потенциальная энергия в поле силы тяжести , где отсчитывается от уровня, на котором потенциальная энергия полагается равной нулю. Таким образом, значение потенциальной энергии зависит от характера действующих сил.

Подчеркнем еще раз, что понятие потенциальной энергии имеет смысл для таких систем, в которых силы взаимодействия потенциальны, то есть зависят от расстояния между телами или между частями одного тела. Соответственно и потенциальная энергия зависит от расстояния между телами, или их частями, например, от высоты тела над поверхностью Земли, от длины пружины. Так как расстояния между двумя точками не зависят от выбора системы отсчета, то потенциальная энергия одинакова во всех системах отсчета.

Источник

Потенциальная энергия частицы в поле. Энергия упругой деформации. Связь между потенциальной энергией и силой поля

Рассмотрим стационарное поле консервативных сил. Работу консервативной силы можно представить как изменение (убыль) некоторой скалярной функции Е_р(г), зависящей только от положения частицы (тела), которая называется потенциальной энергией частицы:

Тогда работа сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 может быть представлена как убыль потенциальной энергии Е_р(г) частицы в данном поле:

Из формулы (4.17) следует, что потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной. Поскольку в физических явлениях природы рассматривается не сама величина потенциальной энергии, а только ее изменение, то роль константы несущественна. Начало отсчета потенциальной энергии (Е = 0) выбирается из соображений удобства.

Единица потенциальной энергии в СИ — джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Н м.

Определим энергию упругой деформации стержня. Внешние силы подчиняются закону Гука (3.21). Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) стержня Е_р равна минимальной работе, совершаемой внешними силами при деформации, т.е. при 7 г _внеш = F:

Пусть х — удлинение стержня, которое изменяется в процессе деформации от 0 до А/. Тогда, согласно закону Гука (3.17), получаем для энергии упругой деформации Е, что потенциальная энергия упруго растянутого стержня пропорциональна квадрату деформации:

В ньютоновской механике широко используются два способа описания взаимодействия частицы с окружающими телами: с помощью сил и с помощью потенциальной энергии. Первый способ применим и к таким силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию, например для сил трения. Второй способ применим только в случае консервативных сил.

Рассмотрим перемещение частицы из одной точки потенциального стационарного поля в другую. Связь между потенциальной энергией и силой поля выражается в соответствии с уравнением (4.17) как

где потенциальная энергия Е_р <г)— функция положения частицы в поле. Следовательно, проекция F_s силы поля — вектора Е — в данной точке поля на направление перемещения dr равна с обратным знаком производной потенциальной энергии Е_р по данному направлению.

Перемещение dr можно взять в любом направлении, в частности вдоль координатных осей X, Y, Z. Связь между силой поля и потенциальной энергией как функцией координат можно представить в следующем виде:

Источник

Потенциальная энергия частицы в силовом поле

Важнейшим свойством потенциального силового поля F(х, у, z) является существование для него некоторой скалярной функции U(х, у, z), называемой потенциальной энергией частицы в этом поле.

.

Эта скалярная функция f называется потенциальной энергией частицы в силовом поле F(х, у, z) относительно выбранной базовой точки М₀ и обозначается символом U:

. (4.3)

Формула (4.3) является определением потенциальной энергии частицы в точке М поля F(х, у, z).

Таким образом, потенциальная энергия частицы в точке М относительно выбранной базовой точки М₀ − это работа поля F(х, у, z) по перемещению частицы из этой точки М в базовую по любому пути.

Замечание. При вычислении потенциальной энергии вместо термина «работа поля» иногда удобнее пользоваться термином «работа внешней силы». Тогда потенциальная энергия частицы в точке М будет определяться как работа внешней силы F_внеш. (мы работаем!) по перемещению частицы в точку М из базовой точки М₀:

.

Пример 1. Вычислить потенциальную энергию частицы массой m на высоте h над поверхностью Земли.

А_ОМ = = mgh.

Итак, искомая потенциальная энергия U = mgh.

Пример 2. Вычислить потенциальную энергию планеты массой m на расстоянии r от Солнца. Масса Солнца .

.

Таким образом, потенциальная энергия планеты в гравитационном поле звезды всегда отрицательна.

Источник

Потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле

Введем понятие силового поля.

Если в каждой точке данного пространства известны величина направление силы, действующей на рассматриваемую частицу, то говорят, что в этом пространстве задано поле сил или силовое поле.

Мы ограничимся рассмотрением полей сил, не зависящих от времени, т.е. стационарных полей.

Например, в каждой точке пространства данной аудитории на частицу массой m действует сила гравитации со стороны Земли, равная mg и направленная к центру Земли. Можно сказать, что в данной аудитории действует гравитационное поле сил.

Другой пример: при движении материальной точки по поверхности стола на нее со стороны поверхности действует сила трения, равная μN и направленная противоположно скорости ее движения. Говорят, что на поверхности стола действует поле сил трения.

Вводя понятие работы, мы говорим, что действие силы на каком-либо участке характеризуется работой, т.е. сила совершает работу на данном участке. Например, при движении тела из точки 1 в точку 2 по поверхности стола силы трения будут совершать работу. Очевидно, что работа сил трения будет зависеть от того, по какому пути будет двигаться тело из точки 1 в точку 2. Чем длиннее путь, пройденный телом, тем больше работа сил трения, хотя при этом отправная и конечные точки пути одни и те же.

Однако, можно выделить класс сил, которые обладают замечательным свойством – работа, совершаемая силой при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, не зависит от формы пути, по которому частица перемещается из т.1 в т.2 ( рис. 13.1).

Это означает, что ,

где — работа при перемещении частицы из 1 в 2 по траектории 1-а-2;

— работа при перемещении частицы из 1 в 2 по траектории 1-b-2.

Такие силы называются консервативными. Если такое свойство сохраняется и для силовых полей, меняющихся со временем (не стационарных полей), то такие силы называются потенциальными. Консервативные силы – это частный случай потенциальных сил.

Изменение направления движения частицы на противоположное вызывает изменение знака работы консервативной силы, так как меняет свой знак. Поэтому, при перемещении частицы по любому замкнутому контуру L, например, 1-а-2-b-1, работа консервативной силы тождественно равна 0. Это обстоятельство позволяет записать условие консервативности сил в следующей математической форме:

. (13.4)

Кружок на знаке интеграла означает суммирование по замкнутому контуру. Тождество (13.4) является необходимым условием консервативности сил F_кон. Условие (13.4) не может быть достаточным условием консервативности сил данного поля. Для этого нужно доказать, что это условие выполняется для любого замкнутого контура. Как это сделать, мы узнаем позже, когда познакомимся с понятием ротора векторной функции.

К неконсервативным силам относятся диссипативные (силы трения) и гироскопические силы, с которыми мы познакомимся попозже.

Введем понятие потенциальной энергии. Допустим, что на частицу в пространстве действуют консервативные силы. В этом случае говорят, что задано потенциальное поле сил. Из определения консервативных сил ясно, что работа, совершаемая силами потенциального поля над частицей, зависит только от взаимного расположения начальной 1 и конечной 2 точек пути. Это означает, что работу в этом случае можно выразить в виде:

, (13.5)

где — некоторые значения функции состояния частицы, зависящие только от ее координат. Эту функцию и называют потенциальной энергией.

Из соотношения (13.5) следует, что работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии частицы:

. (13.6)

Выражение (13.5) позволяет найти зависимость потенциальной энергии частиц от координат только с точностью до постоянного слагаемого С, не влияющего величину разности . Поэтому в каждой конкретной задаче для получения однозначной зависимости U_пот от координат выбирают точку, для которой потенциальную энергию частицы (или системы) условно считают равной нулю.

Используя выражение (13.5), можно дать определение потенциальной энергии. Потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна работе, которую должны совершить потенциальные силы при переводе системы из этого состояния в состояние, где U_п2 равна нулю.

В качестве примера рассмотрим однородное силовое поле и поле центральных сил.

Если во всех точках рассматриваемого пространства силы поля равны и по величине и по направлению, то такое поле называется однородным.

Работа, совершаемая постоянной силой F, равна (11.4):

.

Очевидно, что эта работа не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения точек движения r₁ и r₂. Следовательно, однородное силовое поле потенциально.

Например, гравитационное поле вблизи поверхности Земли в пределах небольшой области (Dr

. (13.10)

Полученное выражение зависит только от вида функции f(r) и от значений r₁ и r₂, и никак не зависит от формы траектории движения и поэтому является потенциальным.

Рассмотрим гравитационное взаимодействие двух материальных точек М и т. По закону всемирного тяготения сила взаимодействия по модулю равна: . Если рассматривать силу, действующую на точку т, то можно сказать, что гравитационное силовое поле, создаваемое материальной точкой М, действует на точку т с силой F.

Другими словами, материальная точка М создает поле центральных сил с силовым центром в точке М.

Поместим начало отсчета в точку М.

Тогда в векторном виде сила гравитации, действующая на точку т, примет следующий вид:

. (13.11)

При перемещении точки т из r₁ в точку r₂ силы гравитации совершат работу:

. (13.12)

Сравнивая полученное выражение с (13.6), получим, что потенциальная энергия частицы т в гравитационном поле точки М равна:

. (13.13)

При большом удалении точек друг от друга ( ), сила их гравитационного взаимодействия стремится к нулю, и, следовательно, должна стремиться к нулю и потенциальная энергия. Поэтому в данном случае константу С можно положить равной нулю.

Выражение (13.13) является точным для расчета потенциальной энергии частицы т в гравитационном поле точки М. Выражение (13.8) является приближенным расчетным соотношением для вычисления потенциальной энергии частицы в гравитационном поле. Покажем это.

Можно доказать, что тело сферической формы массой М создает вне себя точно такое же гравитационное поле, как материальная точка такой же массы, помещенная в центр шара. Следовательно, при поднятии тела массой т с поверхности, например, Земли на высоту h ее потенциальная энергия меняется на величину

. (13.14)

Источник