Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле
Работа электрического поля не зависит от формы траектории и на замкнутой траектории равна нулю. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными. Потенциальный характер, в частности, имеет электростатическое поле точечного заряда.
— равен отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду.
— скалярная величина, определяющая потенциальную энергию заряда в любой точке эл. поля.
φ = W / q = const [φ] = Дж / Кл = 1В
Величина потенциала считается относительно выбранного нулевого уровня.
РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ (или иначе НАПРЯЖЕНИЕ)
— это разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории заряда.
Напряжение U между двумя точками равно разности потенциалов этих точек и равно работе поля по перемещению единичного заряда.
СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ПОЛЯ И РАЗНОСТЬЮ ПОТЕНЦИАЛОВ
A = q E Δd; A = qU => E = U / Δd. [ E ] = B / м
— поверхности, все точки которых имеют одинаковый потенциал
Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям и φ1 = φ2 = φ3 = …
Эквипотенциальная поверхность имеется у любого проводника в электростатическом поле, т.к. силовые линии перпендикулярны поверхности проводника. Все точки внутри проводника имеют одинаковый потенциал. Напряженность внутри проводника равна 0, значит и разность потенциалов внутри равна 0.
Рассмотрим ситуацию: заряд q0 попадает в электростатическое поле. Это электростатическое поле тоже создается каким-то заряженным телом или системой тел, но нас это не интересует. На заряд q0 со стороны поля действует сила, которая может совершать работу и перемещать этот заряд в поле.
Работа электростатического поля не зависит от траектории. Работа поля при перемещении заряда по замкнутой траектории равна нулю. По этой причине силы электростатического поля называются консервативными, а само поле называется потенциальным.
Потенциал
Вспомним потенциальную энергию в механике. Потенциальная энергия равна нулю, когда тело находится на земле. А когда тело поднимают на некоторую высоту, то говорят, что тело обладает потенциальной энергией.
Касательно потенциальной энергии в электричестве, то здесь нет нулевого уровня потенциальной энергии. Его выбирают произвольно. Поэтому потенциал является относительной физической величиной.
Рассмотрим частный случай, когда электростатическое поле создается электрическим зарядом Q. Для исследования потенциала такого поля нет необходимости в него вносить заряд q. Можно высчитать потенциал любой точки такого поля, находящейся на расстоянии r от заряда Q.
Диэлектрическая проницаемость среды имеет известное значение (табличное), характеризует среду, в которой существует поле. Для воздуха она равна единице.
Разность потенциалов
Работа поля по перемещению заряда из одной точки в другую, называется разностью потенциалов
Эту формулу можно представить в ином виде
Напряжение
Разность потенциалов называют еще электрическим напряжением при условии, что сторонние силы не действуют или их действием можно пренебречь.
Напряжение между двумя точками в однородном электрическом поле, расположенными по одной линии напряженности, равно произведению модуля вектора напряженности поля на расстояние между этими точками.
От величины напряжения зависит ток в цепи и энергия заряженной частицы.
Принцип суперпозиции
Потенциал поля, созданного несколькими зарядами, равен алгебраической (с учетом знака потенциала) сумме потенциалов полей каждого поля в отдельности
Как определить знак потенциала
При решении задач возникает много путаницы при определении знака потенциала, разности потенциалов, работы.
На рисунке изображены линии напряженности. В какой точке поля потенциал больше?
Если происходит исследование поля, которое создается отрицательным зарядом, то потенциал поля вблизи заряда имеет отрицательное значение, в этом легко убедиться, если в формулу подставить заряд со знаком «минус». Чем дальше от отрицательного заряда, тем потенциал поля больше.
Если происходит перемещение положительного заряда вдоль линий напряженности, то разность потенциалов и работа являются положительными. Если вдоль линий напряженности происходит перемещение отрицательного заряда, то разность потенциалов имеет знак «+», работа имеет знак «-«.
Порассуждайте самостоятельно отрицательные или положительные значения будут принимать работа и разность потенциалов, если заряд перемещать в обратном направлении относительно линий напряженности.
Зависимость напряженности и потенциала от расстояния
Потенциал поля, созданного равномерно заряженной сферой радиусом R и зарядом q на расстоянии r от центра сферы, равен
Напряжение в природе
Напряжение в клетках сетчатки глаза при попадания в них света около 0,01 В. Напряжение в телефонных сетях может достигать 60 В. Электрический угорь способен создавать напряжение до 650 В.
Энергия взаимодействия зарядов*
Из определения потенциала следует, что потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга, численно равна работе, которая совершается при перемещении точечного заряда q2 из бесконечности в данную точку поля, созданного зарядом q1
Аналогично Тогда энергия взаимодействия двух точечных зарядов
Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле
Работа сил электростатического поля
Потенциал электростатического поля
Разность потенциалов и напряженность поля
Эквипотенциальные поверхности
Принцип суперпозиции для потенциала
1.4.1. Работа сил электростатического поля
Точечный заряд q 0 перемещается в поле заряда q вдоль произвольной траектории. Работа при перемещении заряда q 0 из точки 1 в точку 2 (рис. 1.14):
(1.14)
Рис. 1.14. Работа в электрическом поле
Полученный результат означает, что работа в электростатическом поле не зависит от траектории движения заряда, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными. Тоже и для поля любой системы неподвижных зарядов.
Работа перемещения заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому контуруL, согласно (1.14)
1.4.2. Потенциал электростатического поля
Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии, поэтому работу по перемещению заряда в электрическом поле можно представить в виде разности значений потенциальной энергии, которой обладает заряд q0 в точке 1 и 2 поля заряда q:
Значение С выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность потенциальная энергия была бы равна нулю.
Из (1.17) следует, что разные по величине пробные заряды будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией, однако отношение Wp/qпр будет для всех зарядов одним и тем же, поэтому данную величину удобно использовать для описания поля в данной точке.
Потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля:
Потенциал j определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, значение которой определяется разностью потенциалов в соседних точках поля.
Подставив в (1.18) значение W p из (1.17), получим для потенциала точечного заряда выражение:
,
Из формул (1.14) и (1.19) следует, что работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q0 из точки 1 в точку 2 :
где ( j1– j2 ) – разность потенциалов двух точек 1 и 2 электростатического поля.
Из (1.20) следует, что разность потенциалов – это работа, совершаемая силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.
Согласно (1.20), работа, которую надо совершить, чтобы перенести пробный заряд из точки 1 в бесконечность ( ¥ ):
Потенциал – физическая величина, численно равная работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность.
Единица измерения в СИ: 1 В = 1 Дж/Кл. Внесистемная единица энергии – электронвольт (эВ). Электронвольт – это энергия, которую приобретает частица с зарядом, равным заряду электрона е = 1,60·10 –19 Кл, пробегая в вакууме разность потенциалов 1 В, т.е. 1 эВ = 1,60·10 –19 Дж. В электронвольтах обычно выражают энергию различных элементарных частиц.
Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q 0 из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде
.
Приравняв (1.20) и (1.22), получим
где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки.
1.4.3. Разность потенциалов и напряженность поля
Рис. 1.15. К соотношению между разностью потенциалов и напряженностью поля
Если известно распределение потенциала, т.е. его значение в каждой точке поля, то можно найти и напряженность этого поля в каждой точке.
Пусть пробный заряд перемещается силами поля из точки 1 в точку 2 вдоль прямолинейного отрезка (рис. 1.15). Если 1 и 2 – бесконечно близкие точки, то с огласно (1.23):
,
т.е. проекция вектора напряженности на направление перемещения равна со знаком минус производной потенциала по данному направлению.
Из (1.24), в частности,
Вектор :
или
grad – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции; , , – единичные векторы координатных осей x, y, z. Знак минус показывает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала.
1.4.4. Эквипотенциальные поверхности
Рис. 1.16. Эквипотенциальные линии (сплошные) и линии напряженности (пунктир) различных полей.
Поверхности, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение, называют эквипотенциальными. Используются для графического изображения распределения потенциала.
Эквипотенциальные поверхности строят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними поверхностями были одинаковы. Градиент потенциала направлен перпендикулярно этой поверхности в сторону возрастания потенциала. Вектор напряженности электрического поля перпендикулярен в каждой точке эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала. На рис. 1.16 показаны картины электрических полей: пунктиром – линии вектора напряженности, сплошными линиями – эквипотенциали.
где j – потенциал результирующего поля в рассматриваемой точке относительно бесконечности, ri – расстояние от точечного заряда qi до интересующей точки поля.
Если заряды, образующие систему распределены непрерывно по всему объему тела, то
,
Если заряды расположены только на поверхности тела, то
1. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле
На заряд, находящийся в электростатическом поле, действует сила со стороны этого поля. При перемещении заряда эта сила может совершать работу, которую называют часто работой поля.
Итак, система «заряд + поле» обладает способностью совершать работу.
Из курса механики вы уже знаете, что система, способная совершать работу, может обладать потенциальной энергией.
Изменение потенциальной энергии связано с совершенной системой работой соотношением (знак «минус» означает, что если система совершает положительную работу, то ее потенциальная энергия уменьшается).
Расчеты и опыт показывают, что работа поля при перемещении заряда из одной точки в другую в электростатическом поле зависит только от положения этих точек и не зависит от траектории движения заряда.
Например, работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 не зависит от того, по какой траектории перемещают заряд (см. рис. 5.1). В таком случае можно ввести понятиепотенциальной энергии заряда в электрическом поле.
Если бы работа поля по перемещению заряда зависела от траектории движения заряда, невозможно было бы однозначно определить изменение потенциальной энергии заряда при перемещении его из одной точки в другую. Следовательно, в таком случае нельзя было бы ввести понятие потенциальной энергии заряда в поле.
Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле
Вспомните из курса механики определение потенциальной энергии в поле силы тяжести. Какие силы действуют на точечный заряд в электростатическом поле? Какое поле называется однородным?
Заряженные тела притягивают или отталкивают друг друга. При перемещении заряженных тел, например листочков электроскопа, действующие на них силы совершают работу. Из механики известно, что система, способная совершить работу благодаря взаимодействию тел друг с другом, обладает потенциальной энергией. Значит, система заряженных тел обладает потенциальной энергией, называемой электростатической или электрической.
Понятие потенциальной энергии самое сложное в электростатике. Вспомните, как нелегко было представить себе, что такое потенциальная энергия в механике. Силу мы ощущаем непосредственно, а потенциальную энергию нет. На пятом этаже дома потенциальная энергия нашего тела больше, чем на первом. Но мы это никак не воспринимаем. Различие становится понятным, если вспомнить, что при подъёме вверх пришлось совершить работу, а также если представить себе, что произойдёт при падении с пятого этажа.
Энергия взаимодействия электронов с ядром в атоме и энергия взаимодействия атомов друг с другом в молекулах (химическая энергия) — это в основном электрическая энергия.
С точки зрения теории близкодействия на заряд непосредственно действует электрическое поле, созданное другим зарядом. При перемещении заряда действующая на него со стороны поля сила совершает работу. (В дальнейшем для краткости будем говорить просто о работе поля.) Поэтому можно утверждать, что заряженное тело в электрическом поле обладает энергией. Найдём потенциальную энергию заряда в однородном электрическом поле.
Работа при перемещении заряда в однородном электростатическом поле.
Однородное поле создают, например, большие параллельные металлические пластины, имеющие заряды противоположного знака. Это поле действует на заряд q с постоянной силой = q, подобно тому как Земля действует с постоянной силой = m на камень вблизи её поверхности.
Пусть пластины расположены вертикально (рис. 14.31), левая пластина В заряжена отрицательно, а правая — положительно. Вычислим работу, совершаемую полем при перемещении положительного заряда q из точки 1, находящейся на расстоянии d1 от левой пластины, в точку 2, расположенную на расстоянии d2 от неё. Точки 1 и 2 лежат на одной силовой линии. Электрическое поле при перемещении заряда совершит положительную работу:
Работа по перемещению заряда в электрическом поле не зависит от формы траектории, подобно тому как не зависит от формы траектории работа силы тяжести.
Докажем это непосредственным расчётом.
Пусть перемещение заряда происходит по кривой (рис. 14.32). Разобьём эту кривую на малые перемещения. Сила, действующая на заряд, остаётся постоянной (поле однородно), а угол а между направлением силы и направлением перемещения будет изменяться. Работа на малом перемещении Δ равна ΔА = qElΔlcosa. Очевидно, что |Δ|cosa = Δd — проекция малого перемещения на горизонтальное направление. Суммируя работы на малых перемещениях, получаем А = qEd.
С помощью аналогичных рассуждений можно вывести формулу для работы кулоновской силы при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2 в неоднородном поле неподвижного точечного заряда q. При этом должно быть учтено, что сила зависит от расстояния до точечного заряда q. Для работы кулоновской силы в поле точечного заряда q справедливо выражение
Мы видим, что работа зависит только от положения начальной (r1) и конечной (r2) точек траектории и не зависит от формы траектории.
Электростатическая сила, действующая на заряды, является так же, как и силы тяжести, тяготения и упругости, консервативной силой.
Потенциальная энергия.
Поскольку работа электростатической силы не зависит от формы траектории точки её приложения, сила является консервативной, и её работа согласно формуле (5.22) равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:
где d — расстояние от точки 2 до любой точки, находящейся с точкой 2 на одной силовой линии.
Теперь получим формулу для потенциальной энергии заряда, находящегося в поле точечного заряда. Изменение потенциальной энергии заряда q0 при перемещении из точки 1 в точку 2 в неоднородном поле неподвижного точечного заряда q равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком:
Если считать, что в бесконечно удалённой точке потенциальная энергия равна нулю (при r2 → ∞ Wп2 — 0), то потенциальная энергия заряда q0 в некоторой точке, находящейся на расстоянии r от точечного заряда q, создающего поле: Потенциальная энергия прямо пропорциональна заряду q0, внесённому в поле.
Отметим, что формула (14.14) подобна формуле Wп = mgh для потенциальной энергии тела. Но заряд q в отличие от массы может быть как положительным, так и отрицательным.
Если поле совершает положительную работу, то потенциальная энергия заряженного тела при его свободном перемещении в поле в точку 2 уменьшается: ΔWп 0. Потенциальная энергия растёт, а кинетическая энергия уменьшается; частица тормозится.
На замкнутой траектории, когда заряд возвращается в начальную точку, работа поля равна нулю:
подставить заряд со знаком «минус». Чем дальше от отрицательного заряда, тем потенциал поля больше.
Тогда энергия взаимодействия двух точечных зарядовРабота сил электростатического поля
Потенциал электростатического поля
,
.
(рис. 1.15). Если 1 и 2 – бесконечно близкие точки, то с огласно (1.23):
,
:
, 
, 
– единичные векторы координатных осей x, y, z. Знак минус показывает, что вектор 
,
,
,
связано с совершенной системой работой 
соотношением 
(знак «минус» означает, что если система совершает положительную работу, то ее потенциальная энергия уменьшается).
= q
, подобно тому как Земля действует с постоянной силой 
на камень вблизи её поверхности.
равна ΔА = qElΔ
зависит от расстояния до точечного заряда q. Для работы кулоновской силы в поле точечного заряда q справедливо выражение
Потенциальная энергия прямо пропорциональна заряду q0, внесённому в поле.