проводящий цилиндр в однородном электрическом поле

Бесконечный круговой проводящий цилиндр в однородном поперечном электростатическом поле постоянной напряжённости.

Пусть цилиндрическая система координат выбрана таким образом, что продольная ось z совпадает с осью симметрии цилиндра, а направление вектора напряжённости внешнего (исходного) поля совпадает с направлением . Пусть радиус окружности поперечного сечения цилиндра равен а, положение в пространстве точки наблюдения М описывается полярными координатами и , значение продольной осевой координаты z безразлично. Рассматриваемая схема приведена на рис. 1. Электростатическое поле, возникающее в окрестности проводящего цилиндра, можно описать с помощью потенциала , который удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа в полярных координатах для произвольной точки наблюдения М и обращается в нуль на поверхности проводящего цилиндра . Так же как в предыдущем случае, потенциал результирующего поля будем искать как сумму потенциала однородного поля и потенциала индуцированного поля:

(1)

Потенциал однородного исходного поля с учетом ориентации вектора напряженности электростатического поля и выбора направлений осей координат запишем виде:

(2)

Легко убедиться в том, что

и в любой точке пространства.

Потенциал индуцированного поля должен удовлетворять уравнению Лапласа, исчезать при больших значениях координаты и быть пропорциональным величине напряженности исходного поля. В случае проводящего шара к успеху привело предположение, что потенциал индуцированного поля можно построить как величину скалярного произведения вектора напряжённости исходного поля на градиент фундаментального решения уравнения Лапласа для бесконечного пространства. В условиях осевой симметрии фундаментальным решением уравнения Лапласа для безграничного пространства является функция . Ищем потенциал индуцированного поля в форме:

(3)

где А – произвольная постоянная. Проверим непосредственным вычислением, что это выражение удовлетворяет уравнению Лапласа:

(4)

Итак, потенциал результирующего поля можно записать в форме:

(5)

Потребуем обращения в нуль этого выражения на поверхности проводящего цилиндра . Постоянная A должна быть выбрана равной величине . Окончательный результат построения зависимости потенциала результирующего поля от пространственных переменных имеет вид:

. (6)

Располагая зависимостью для потенциала результирующего электростатического поля, вычислим вектор напряжённости результирующего поля:

. (7)

Физические компоненты вектора напряжённости результирующего электростатического поля определяются соотношениями:

(8)

Легко видеть, что на боковой поверхности проводящего цилиндра касательные компоненты вектора напряжённости электростатического поля обращаются в нуль, а радиальная компонента определяет величину поверхностной плотности индуцированного электрического заряда:

(9)

Суммарная величина индуцированного электрического заряда на единице длины поверхности проводящего цилиндра равна нулю:

(10)

Для полученного распределения поверхностной плотности индуцированного электрического заряда можно рассчитать отличную от нуля величину и направление дипольного электрического момента, приходящегося на единицу длины цилиндра.

Зависимости для радиальной и азимутальной физических составляющих вектора напряжённости электростатического поля позволяют записать дифференциальное уравнение соответствующих силовых линий:

. (11)

Общее решение этого уравнения

(12)

при соответствующем выборе множества допустимых значений величины с описывает семейство силовых линий рассматриваемого электростатического поля.

Семейство эквипотенциальных поверхностей в соответствии с зависимостью (6) описывается уравнением:

(13)

Физический смысл имеют результаты, обеспечивающие не только положительное значение величины , но и выполнение условия На рис. 1 показано расположение семейства силовых линий вектора напряжённости и расположение семейства эквипотенциальных поверхностей электростатического поля, образованного проводящим цилиндром, который помещен в однородное поперечное электростатическое поле (напряжённость внешнего поля на рис. 1 параллельна оси х декартовой системы координат).

В рассматриваемом случае легко показать, что силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Действительно, из соотношения (11) получаем для силовых линий

(14)

Переходя к дифференциалам в определении эквипотенциальной поверхности (13), получаем

(15)

при перемножении этих выражений получаем в правой части значение «минус единица», что подтверждает отмеченное выше свойство силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Дата добавления: 2017-09-01 ; просмотров: 1982 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Лабораторная работа № 3П “ Цилиндр в однородном поле”

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Лабораторная работа № 3П

“ Цилиндр в однородном поле”

Лабораторная работа № 3П

Цилиндр в однородном поле

Целью работы является экспериментальное исследование картины поля в окрестностях цилиндра, помещенного в однородное поле. Экспериментальные данные сравниваются с результатами теоретического расчета.

В работе проводится экспериментальное исследование стационарного плоскопараллельного поля в проводящей бумаге. Результаты исследования могут быть использованы для анализа электрического поля в диэлектрике и магнитного поля в ферромагнетике (метод аналогового моделирования). При совпадении форм границы областей с разными характеристиками сред (проводимости g, диэлектрической проницаемости e, магнитной проницаемости m) и при совпадении граничных условий имеет место подобие каждого из перечисленных полей. Это обстоятельство позволяет одно поле моделировать другим.

Экспериментальное измерение распределения потенциала на поверхности проводящего слоя бумаги с помощью металлического зонда удобно в осуществлении и не вызывает заметного возмущения поля в проводящей среде.

Известно аналитическое решение уравнения Лапласа для плоскопараллельного поля, возникающего при внесении диэлектрического цилиндра радиуса а, имеющего проницаемость e2, в однородное поле напряженностью E0, существующее в среде с проницаемостью e1. Аналогичное решение уравнения Лапласа для плоскопараллельного поля, возникающего при внесении проводящего цилиндра (проводимость g2) в однородное поле напряженностью E0, существующее в среде с проводимостью g1 (рис. 1), в цилиндрической системе координат имеет вид:

во внутренней области (g2, ): ;

.

Во внешней области (g1, ): ;

;

Рис. 1

Соответствующее выражение будет иметь решение и для скалярного магнитного потенциала поля ферромагнитного цилиндра с проницаемостью m2, помещенного в магнитное поле с напряженностью H0, существующего в среде m1.

В работе исследуется поле в окрестности цилиндрического «отверстия» выполненного в проводящей бумаге (g1 » 2,23 См/м) и в окрестности металлического цилиндра. В случае «отверстия» g2=0, металлического цилиндра g2>>g1.

Замечание. Для реальных диэлектрических и магнитных сред электрические и магнитные проницаемости имеют конечные значения, не равные нулю.

Вследствие симметрии задачи (рис. 1) относительно 0’0 в данной работе один из электродов устанавливается вдоль плоскости симметрии и исследуется половина общей картины поля. Из-за ограниченности размеров электроды, создающие однородное поле, устанавливаются на расстоянии, соизмеримом с радиусом цилиндра а= 30 мм. Это вызывает искажение картины поля по сравнению с теоретическим случаем (расстояние до электродов много больше радиуса цилиндра).

Для исследования поля вблизи отверстия в листе проводящей бумаги вырезается отверстие, форма которого показана на рис. 2. На бумагу устанавливают параллельно плоские электроды. Кромка одного из электродов должна проходить через центр отверстия, кромка другого электрода устанавливается на расстоянии d от центра отверстия (рис. 3).

Источник

Проводящий цилиндр в однородном электрическом поле

Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского –Гаусса

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле: где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности. Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11). Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению. Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12). Рис. 2.11 Рис. 2.12 Тогда Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен: Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим: откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна: Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13). Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей . Тогда внутри плоскостей Вне плоскостей напряженность поля Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор). Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными. Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то Это формула для расчета пондермоторной силы. Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14). Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра. Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r. Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15). Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае: Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор). Поле заряженного пустотелого шара Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17). Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда откуда поле вне сферы: Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов: Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы. Поле объемного заряженного шара Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула: Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный где ρ – объемная плотность заряда, равная: ; – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем: Таким образом, внутри шара Источник ← What is web browser приманка для рыбалки игра на разноцветном поле → Вам также понравится каламин циндол чем отличается 08.11.202314.03.2023 admin 0 карта адидас universe что дает 11.11.202315.03.2023 admin 0 дикий утенок остался без мамы чем кормить 02.11.202311.03.2023 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.