счет измерение и числа
Счет, измерения и числа
Описание разработки
Цель урока: повторить, систематизировать и обобщить знания, которыми овладели учащиеся при изучении темы «Счет, измерения и числа».
Тип урока: систематизация и обобщение знаний и умений.
Оборудование: мультимедийный проектор; презентация к уроку.
Проверка домашнего задания.
Мотивация. Постановка цели урока.
Повторение и систематизация знаний учащихся.
Повторение и систематизация умений учащихся.
Подведение итогов урока.
Повторение – мать ученья.
Прежде чем приступить к уроку, я хотела бы, чтобы каждый из вас настроился на рабочий лад. Скажите себе: «Я нахожусь на уроке математики. А обо всем остальном я не буду думать сейчас, я подумаю об этом потом». Прекрасно! А теперь приступим к работе.
Проверка домашнего задания.
Учащиеся обмениваются тетрадями и по готовым ответам (на слайде) проверяют друг у друга домашнюю работу, после чего сдают тетради на проверку. (слайд 1)
Мотивация. Постановка цели урока.
Так как на следующем уроке у нас контрольная работа по теме «Счет, измерения и числа», то нам необходимо повторить, обобщить и систематизировать знания и умения, приобретенные вами в ходе изучения данной темы.
Повторение и систематизация знаний учащихся.
— Какие числа называются натуральными?
№ 1. Прочитайте числа: (слайд 2)
№2. Сравните числа: (слайд 3)
— Правила сравнения многозначных чисел?
12 000 032 009 и 12 000 041 000
№3. Что дано на рисунке? (слайд 4)
—Что можем сказать про прямую?
№4. Что такое координатный луч? (слайд 5)
— Каким числам соответствуют точки А, В, С?
— Назовите все полученные отрезки?
№5.Какие виды углов, изображены на рисунке? (слайд 6)
—Острый, прямой, тупой, развернутый?
Если угол АВС = 180°? Если угол ХУZ = 32°? Если угол КLМ = 90°? Если угол ОNР = 124°? (слайд 7)
№6. Дан отрезок АС. Точка В лежит между А и С так, что АВ = 27 см, ВС = 13 см. найдите отрезок АС? (слайд 8)
Дан отрезок МО = 40 мм, МР = 40 см. Найдите отрезок ОР?
Повторение и систематизация умений учащихся
Молодцы, хорошо справились с заданием. Теперь откроем тетрадочки запишем число, классная работа и порешаем примеры письменно.
№ 1. Запишите цифрами число: (слайд 9)
Пятьдесят шесть миллиардов двести тридцать девять миллионов четыреста девяносто одна тысяча сто сорок два;
Семьсот десять миллиардов триста сорок четыре миллиона семьсот двенадцать;
Восемь миллиардов девять тысяч семь.
№ 2. Начертите координатный луч и обозначьте на нем точки, которые соответствуют числам 0; 1; 5; 8; 10. (слайд 10)
№ 3. На рисунке KL = 23 см, отрезок ЕК в 3 раза длиннее его. Найдите длину отрезка ЕL? (слайд 11)
№ 4. Запишите все полученные углы, определите их виды и измерьте их. (задание на листочках) (слайд 12-13)
№ 5. Сравните : (слайд 14)
6 км 4 м и 6 006 м;
Подведение итогов. (слайд 15)
Мы хорошо с вами поработали и повторили:
— Как читать, записывать и сравнивать многозначные числа;
—Что такое прямая, луч, отрезок;
—Что такое координатный луч и как находить координаты точек;
—Что такое угол, виды углов и как их измерять.
—Отметьте на мордочках как вы сегодня работали на уроке.
Домашнее задание (слайд 16)
Повторить §1-5, выполнить задание на листочках.
Если остается время дополнительное задание: (презентация дополнительно).
Разряды и классы чисел
Числа и цифры
Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.
Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …
От количества цифр в числе зависит его название.
Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.
Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.
Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.
Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.
Классы чисел
Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.
Названия классов многозначных чисел справа налево:
Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:
А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:
Разряды чисел
От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:
Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.
Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.
У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.
Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.
Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.
Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.
Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще чтобы визуально разделить классы чисел.
Разрядные единицы обозначают так:
Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.
Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши онлайн-курсы по математике!
Потренируемся
Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:
Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:
Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.
Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?
В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.
Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.
Значит, в данном числе содержится 62 сотни.
Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.
Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:
Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.
Счет, измерения и числа
Описание разработки
Цель урока: повторить, систематизировать и обобщить знания, которыми овладели учащиеся при изучении темы «Счет, измерения и числа».
Тип урока: систематизация и обобщение знаний и умений.
Оборудование: мультимедийный проектор; презентация к уроку.
Проверка домашнего задания.
Мотивация. Постановка цели урока.
Повторение и систематизация знаний учащихся.
Повторение и систематизация умений учащихся.
Подведение итогов урока.
Повторение – мать ученья.
Прежде чем приступить к уроку, я хотела бы, чтобы каждый из вас настроился на рабочий лад. Скажите себе: «Я нахожусь на уроке математики. А обо всем остальном я не буду думать сейчас, я подумаю об этом потом». Прекрасно! А теперь приступим к работе.
Проверка домашнего задания.
Учащиеся обмениваются тетрадями и по готовым ответам (на слайде) проверяют друг у друга домашнюю работу, после чего сдают тетради на проверку. (слайд 1)
Мотивация. Постановка цели урока.
Так как на следующем уроке у нас контрольная работа по теме «Счет, измерения и числа», то нам необходимо повторить, обобщить и систематизировать знания и умения, приобретенные вами в ходе изучения данной темы.
Повторение и систематизация знаний учащихся.
— Какие числа называются натуральными?
№ 1. Прочитайте числа: (слайд 2)
№2. Сравните числа: (слайд 3)
— Правила сравнения многозначных чисел?
12 000 032 009 и 12 000 041 000
№3. Что дано на рисунке? (слайд 4)
—Что можем сказать про прямую?
№4. Что такое координатный луч? (слайд 5)
— Каким числам соответствуют точки А, В, С?
— Назовите все полученные отрезки?
№5.Какие виды углов, изображены на рисунке? (слайд 6)
—Острый, прямой, тупой, развернутый?
Если угол АВС = 180°? Если угол ХУZ = 32°? Если угол КLМ = 90°? Если угол ОNР = 124°? (слайд 7)
№6. Дан отрезок АС. Точка В лежит между А и С так, что АВ = 27 см, ВС = 13 см. найдите отрезок АС? (слайд 8)
Дан отрезок МО = 40 мм, МР = 40 см. Найдите отрезок ОР?
Повторение и систематизация умений учащихся
Молодцы, хорошо справились с заданием. Теперь откроем тетрадочки запишем число, классная работа и порешаем примеры письменно.
№ 1. Запишите цифрами число: (слайд 9)
Пятьдесят шесть миллиардов двести тридцать девять миллионов четыреста девяносто одна тысяча сто сорок два;
Семьсот десять миллиардов триста сорок четыре миллиона семьсот двенадцать;
Восемь миллиардов девять тысяч семь.
№ 2. Начертите координатный луч и обозначьте на нем точки, которые соответствуют числам 0; 1; 5; 8; 10. (слайд 10)
№ 3. На рисунке KL = 23 см, отрезок ЕК в 3 раза длиннее его. Найдите длину отрезка ЕL? (слайд 11)
№ 4. Запишите все полученные углы, определите их виды и измерьте их. (задание на листочках) (слайд 12-13)
№ 5. Сравните : (слайд 14)
6 км 4 м и 6 006 м;
Подведение итогов. (слайд 15)
Мы хорошо с вами поработали и повторили:
— Как читать, записывать и сравнивать многозначные числа;
—Что такое прямая, луч, отрезок;
—Что такое координатный луч и как находить координаты точек;
—Что такое угол, виды углов и как их измерять.
—Отметьте на мордочках как вы сегодня работали на уроке.
Домашнее задание (слайд 16)
Повторить §1-5, выполнить задание на листочках.
Если остается время дополнительное задание: (презентация дополнительно).
Понятие числа
Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании.
Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более усложняясь.
Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.
Об истории возникновения понятий натурального числа и нуля
С появлением землевладения и торговли у человека появилась необходимость в счёте, вначале считали на пальцах рук и ног, затем появлялись первые цифры, постепенно перерастающие во множество натуральных чисел.
В то время шумеры пользовались лишь двумя цифрами. Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять. Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы, и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно. Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета. Древние индийцы впервые в 5 веке изобрели для каждой цифры свой знак. Они также открыли понятие «нуля» (шунья). Именно от них пошла десятичная система исчисления, которой мы пользуемся.
Арабы были первыми, кто заимствовал цифры у индийцев, и привез их в Европу в 10 веке. Ноль называли «сифра».
С тех пор и появилось слово «цифра». Арабские числа в России стали применять, в основном, с XVIII века.
До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над буквами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа. Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике Боэций (480 – 524 гг.).
Но еще в 1 половине 2 века греческий математик Никомах говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. О числах первый начал рассуждать Пифагор.
Пифагор и его ученики сократили все числа до цифр от 1 до 9, так как считали их исходными, из которых могут быть получены все другие числа. В 3 веке до н.э.
Архимед научился называть громадные числа, но обозначить он их не сумел: не хватало только знака нуля.
Долгое время натуральный ряд считался конечным. В Древней Руси, например, число 10000, названное «тьма», считалось самым большим, завершающим ряд натуральных чисел.
Архимед в III в. до н.э в своей книге «Исчисление песчинок» опроверг ложное мнение людей о том, будто бы число песчинок на земле столь велико, что его нельзя выразить, а числа большие этого и вообще якобы не существуют.
А также доказал, что ряд натуральных чисел бесконечен. На первых ступенях развития, понятие числа определялось потребностями счета и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека.
Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки.
Порядковые и количественные натуральные числа
В основу теории положены понятия конечного множества и взаимно-однозначного соответствия.
Два конечных множества А и В называются равномощными, или равночисленными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Отношение «Множество А равночисленно множеству В» рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Следовательно, отношение равночисленности является отношением эквивалентности и определяет разбиение совокупности всех конечных множеств на классы эквивалентности.
В одном классе содержатся самые различные множества; общим для всех их является то, что все они равночисленны, то есть содержат одинаковое количество элементов.
Например, в классе, содержащем множество <а; b>, содержатся такие множества, как множество глаз у человека, множество крыльев у птицы, множество диагоналей квадрата и так далее.
Натуральным числом называется общее свойство класса непустых конечных, равномощных (эквивалентных) друг другу множеств. Этим общим свойством является численность множеств.
Каждое множество равнозначно только одному. Если при повторном пересчете объекта получаются различные результаты, это означает ошибку счета.
Поскольку число обозначает количественную характеристику множества, его называют — количественное или реальное число. Если человек хотим получить ответ на вопрос «Сколько?», речь идет о количественном числе.)
При счете элементов множества происходит процесс нумерации. Счет — это процесс упорядочивания множеств путем присвоения каждому элементу определенного номера.
В этом случае натуральное число обозначает собой порядковый номер некоторого элемента и называется в силу этого числом порядковым. Эти две роли натурального числа нашли отражение в русском языке: порядковые натуральные выражаются порядковыми числительными — первый, второй третий т. д.; количественные — количественными числительными один, два и т. д.
Счет — основной источник получения натурального числа в начальной школе.
Счётная деятельность (счёт) – это действия с конкретными множествами; это установление взаимно однозначного соответствия между числами натурального ряда и элементами множества. Простое называние числительных счётом не является. Как и любая другая деятельность имеет 3 признака:
Математический счёт — это действие, позволяющее определить количество чего-либо. Счёт может быть количественным или порядковым.
Количественный счёт — это определение количества предметов. Количественный счёт позволяет ответить на вопрос сколько?
Например, чтобы узнать количество парт в классе или сколько деревьев растёт в саду, необходимо их сосчитать.
Количественный счёт заключается в том, что, отделяя каждый раз один предмет за другим (на самом деле или только мысленно), мы называем количество отделённых предметов.
Например, считая парты в классе, мы мысленно отделяем одну парту за другой и говорим: один, два, три, четыре, пять и т. д.
Если при отделении последней парты мы сказали, например, восемь, значит, в классе всего восемь парт. Число восемь в этом случае является результатом счёта.
Результат счёта — это количество предметов, полученное в результате их счёта.
Результат счёта не зависит от того порядка, в каком считаются предметы.
Так, считая парты в классе, мы получим одно и то же число независимо от того, считаем ли мы от передних парт к задним или наоборот — от задних к передним.
Важно только, чтобы при подсчёте парт, ни одна парта не была пропущена и ни одна не сосчитана два раза.
Число, при котором есть наименование тех единиц, от счёта которых оно получилось, называется именованным.
В нашем случае, так как мы считали парты, число восемь является именованным (восемь парт).
Число, у которого отсутствует наименование единиц, называется отвлечённым.
Порядковый счёт — это определение количества предметов и место каждого предмета относительно других.
Порядковый счёт позволяет ответить на вопрос какой? (например, какой по счёту? или какой по порядку?).
Например, для определения количества карандашей можно воспользоваться количественным счётом и посчитать карандаши в любом порядке: но если нужно узнать какой по счёту зелёный карандаш, то следует воспользоваться порядковым счётом.
В этом случае каждый карандаш получает номер, указывающий каким по счёту он идёт: так как карандаши расположены друг за другом, то зелёный карандаш будет третьим, если считать слева направо, и четвёртым, если считать справа налево.
При порядковом счёте, если считаются все предметы, то результатом счёта будет номер, указывающий порядок последнего посчитанного предмета. В нашем случае, так как последний посчитанный карандаш является шестым, то и общее количество предметов равно шести.
Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля
Количественное натуральное число отвечает на вопрос «сколько элементов в множестве?» и выражается числительными «один», «два», «три», и т.д.
Порядковое натуральное число отвечает на вопрос «которым по счету является данный элемент в множестве?» и выражается числительными «первый», «второй», «третий» и т.д.
Равные натуральные числа. Натуральные числа а и b называются равными, если они являются характеристиками равномощных множеств. a=b n(A)=n(B), n(A)=a, n(B)=b, A B. Свойства отношения равенства на N.
1) рефлексивность (aN), a=a
2) симметричность (a,bN), если a=b, тоb=a
3) транзитивность а,b,cN), если а=b, b=с, то а=с
Заключение
Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
Список литературы
Счет измерение и числа
Понять связь измерения и счета с математикой проще всего, так как в обоих этих действиях используются числа. При взгляде на историю цифр — символов, которые применялись в разных культурах для записи чисел, — становится понятно, какие функции они выполняли у наших предков. Люди создали числа, чтобы как-то упорядочить свою деятельность. Джордж Ифра во «Всеобщей истории чисел» излагает результаты длительных исследований происхождения чисел и их смысла в самых разных культурах, нанесенных на запутанную карту человечества, а также рассказывает о развитии систем счисления с древнейших времен до наших дней.
С помощью счета, то есть сопоставления предметов и чисел, люди смогли понять и количественно описать окружающий мир. Необходимость в счете возникала в самых разных культурах и социальных группах. Люди считали дни в году, чтобы определить благоприятное время для посева, при этом они наверняка учитывали смену сезонов. Люди определяли, сколько человек живет рядом с ними, сколько родилось и сколько умерло. Они считали свое имущество и скот. Когда пастухи возвращались с пастбища, им нужно было знать, не потерялось ли какое-нибудь животное по дороге.
Необходимость подсчитывать людей, предметы и определять время возникла уже на заре цивилизации. Изначально человек не умел считать так, как мы делаем это сегодня: он различал только «один», «два» и «много». Различные исследования показывают, что мы не можем мгновенно определить разницу между числами больше 4 с первого взгляда — для этого требуется тем или иным образом произвести подсчет: поочередно пересчитать элементы рассматриваемого множества, как-то сравнить их или сгруппировать в уме.
Для того чтобы определить дату какого-либо события и сообщить ее другому человеку или чтобы подтвердить, что вечером в загон вернулось столько же коз и коров, сколько из него вышло утром, применялись различные методы.
А чтобы запомнить результаты подсчета и передать их адресату, человеку потребовался язык, в котором цифры имели бы свои названия. Все основные образы, связанные с числами, человек заимствует в природе. Так, крылья птицы символизируют пару, лепестки клевера — 3, лапы животного — 4, пальцы руки — 5 и так далее. Есть и другие взаимосвязи, позволяющие последовательно прийти к таким абстрактным понятиям, как число и счет.
Обычно человек начинает считать на пальцах рук, поэтому большинство современных систем счисления десятичные. В некоторых культурах использовались системы счисления по основанию 12 — возможно, с их помощью было удобнее делить, так как 12 имеет больше делителей, чем 10. Майя, ацтеки, кельты и баски использовали при счете пальцы ног, поэтому их система счисления имела основание 20. Шумеры, создатели древнейшей из известных нам форм письменности, и вавилоняне, создатели нуля, разработали шестидесятеричную систему, которую мы используем и сегодня, когда делим часы на минуты и секунды, круг — на 360 градусов, градус — на 60 минут, минуту — на 60 секунд.
Многочисленные кости животных с вертикальными насечками и зарубками, найденные во время раскопок в Западной Европе, помогают понять, как считали наши предки. Эти зарубки являются истоками римской системы записи цифр. Также есть немало подтверждений тому, что все народы Земли на том или ином этапе своей истории использовали счет на пальцах рук. Египтяне, римляне, арабы и персы (не будем забывать и о христианских народах средневековой Европы) при помощи фаланг и суставов на пальцах рук, применяя жесты, подобные жестам из языка глухонемых, могли считать от 1 до 9999. Китайцы пошли еще дальше: они создали систему, позволявшую считать до ста тысяч на пальцах одной руки и до десяти миллиардов — на пальцах двух рук.
Слева — один из способов показать число 3 на пальцах. Справа это же число указано в китайской системе.
Согласно некоторым авторам, на ранних этапах истории арифметики для счета также использовались кучки камней или гальки. На их основе позднее был создан абак. Усовершенствованные аналоги абака до сих пор используются в Китае, Японии и в странах Восточной Европы. Память об этих камешках сохранилась даже в самом слове «калькулятор» — «счетчик», так как латинское слово calculus означает «маленький камень».
Запись чисел с помощью цифр возникла позднее. По всей видимости, некие счетоводы решили заменить привычные камешки изделиями из глины. В зависимости от формы и размера эти изделия обозначали те или иные величины: палочка — единицу, шарик — десяток, большой шарик — сотню и так далее.
Кипу (на языке кечуа это слово означает «узел») — это система, созданная древними индейцами Анд, в которой используются веревки из шерсти или хлопка и узлы одного или нескольких цветов. Эрудиты империи инков, кипукамайоки, использовали кипу для счета, а также, по мнению некоторых исследователей, для письма.
Кипу были обнаружены в городе Караль, в долине реки Супе, в 200 километрах к северу от Перу при археологических раскопках поселения, которое, по мнению ЮНЕСКО, является древнейшим городом Америки (его возраст составляет около 5 тысяч лет). Кроме того, кипу были найдены в поселениях культуры Уари — древней цивилизации, существовавшей в центральных Андах примерно с VII до XIII века.
Кипу представляла собой веревка без узлов, на которую подвешивались другие, как правило, завязанные веревки самых разных цветов, форм и размеров. Разные цвета обозначали разные классы объектов (бурый — управление; малиновый — Инка (монарх); фиолетовый — курака (правитель селений); зеленый — завоевание; красный — война; черный — время; желтый — золото; белый — серебро), а узлы — их количество.
Имеются археологические свидетельства, подтверждающие, что эту систему примерно в одно и то же время (за 4000 лет до н. э.) применяли сразу две цивилизации: Элам на территории современного Ирана, близ Персидского залива, где использовалась десятичная система счисления, и шумеры Южного Междуречья, использовавшие шестидесятеричную систему. Счетоводы хранили предметы, обозначавшие числа, в глиняных шарах. В день, когда требовалось произвести подсчеты, шар разбивался, и из него извлекались предметы, обозначавшие нужную величину. В результате эволюции этой системы на смену предметам, заключенным внутри шара, пришли отметки на самом шаре. Шарики превратились в маленькие зарубки, большие конусы — в широкие насечки, большие шары — в круги. Так, примерно в 3200 году до н. э. возникли первые шумерские цифры, древнейшие из известных человечеству.
Важную роль в развитии математических идей играет измерение. Оно подразумевает сравнение, упорядочение и количественную оценку. Хотя определенные вещи считаются важными во всех культурах, не все они имеют одинаковую меру.
В каждой среде, в каждом контексте возникают особые потребности, которые, в свою очередь, приводят к появлению тех или иных мер. Первым «измерительным прибором» во всех культурах, возможно, было тело человека. Даже сегодня в отсутствие рулетки и других точных инструментов мы меряем большие расстояния шагами, а маленькие — пальцами рук.
Измерение подразумевает сравнение.
Возможно, самыми первыми возникли потребности в измерении расстояний и оценке количества еды. Во многих культурах расстояния измерялись по времени в пути — в днях пути пешком, на лошади, в повозке и так далее. Сегодня мы по-прежнему оцениваем длительность туристических походов по времени в пути. Количество еды измерялось с помощью емкостей для хранения — корзин, чашек, мешков и так далее. Подобные единицы до сих пор широко применяются в быту: когда мы готовим рис на четверых, мы не используем весы, а отмеряем определенную долю стакана на человека.