сферическая форма характерна для

Тест по теме
«СТРОЕНИЕ АТОМА»

ВАРИАНТ 1

1. Определите элемент со схемой распределения электронов в атоме 2, 8, 4:

а) Mg; б) Si; в) Cl; г) S.

2. Максимальное число электронов на третьем энергетическом уровне:

а) 14; б) 18; в) 8; г) 24.

3. Орбитали, имеющие сферическую форму, называют:

4. Максимальное число электронов на р-орбиталях:

5. Укажите химический элемент, атомы которого имеют электронную формулу

а) Na; б) P; в) Al; г) Ar.

6. Сколько орбиталей в атоме водорода, на которых находятся электроны?

7. Атом какого химического элемента содержит три протона?

8. Атом какого химического элемента имеет заряд ядра +22?

9. Число нейтронов в атоме марганца равно:

а) 25; б) 29; в) 30; г) 55.

10. Количество неспаренных электронов в атоме серы равно:

ВАРИАНТ 2

1. Определите элемент со схемой распределения электронов в атоме 2, 8, 8:

а) Na; б) P; в) Al; г) Ar.

2. Максимальное число электронов на четвертом энергетическом уровне:

а) 14; б) 32; в) 26; г) 18.

3. Орбитали, имеющие гантелеобразную форму, называют:

4. Максимальное число электронов на s-орбиталях:

5. Укажите химический элемент, атомы которого имеют электронную формулу

а) Mg; б) P; в) Cl; г) Si.

6. Сколько орбиталей в атоме гелия, на которых находятся электроны?

7. Атом какого химического элемента содержит десять электронов?

8. Атом какого химического элемента имеет заряд ядра +35?

а) Ni; б) Pt; в) Br; г) Te.

9. Число нейтронов в атоме цинка равно:

а) 65; б) 22; в) 30; г) 35.

10. Количество неспаренных электронов в атоме хлора равно:

Источник

Геометрия

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Понятие сферы и шара

Люди постоянно сталкиваются с предметами, имеющими форму шара. В большинстве спортивных игр (баскетболе, большом и настольном теннисе, футболе) используются мячи, которые по форме как раз являются шарами. Такую же форму имеют многие фрукты – яблоки, апельсины, мандарины. Более того, известно, что Земля, другие планеты и звезды, большинство крупных спутников также представляют собой шары.

Важно отличать шар от сферы. Сферой называют только поверхность шара. Сам же шар является объемной фигурой, к нему относят всю часть пространства, ограниченную сферой.

Дадим строгие определения сферы и шара:

Отрезок, соединяющий точку на сфере с ее центром, именуется радиусом сферы. Он же называется и радиусом шара, заключенного внутри этой сферы.

Проходящий через центр сферы отрезок, чьи концы принадлежат сфере, именуется диаметром сферы. Сама сфера считается частью шара, также как и окружность считается частью круга.Показывают шар или сферу на рисунке так:

Из определения сферы явно вытекает тот факт, что все ее радиусы одинаковы. Это в свою очередь означает, что центр сферы – это середина диаметра, и диаметр вдвое длиннее радиуса.

Заметим, что сфера является телом вращения. Она получается при повороте полуокружности вокруг ее диаметра:

Уравнение сферы

В планиметрии мы уже изучали уравнения линии. Так назывались ур-ния с двумя переменными, каждое решение которых соответствовало точке на координатной плос-ти, принадлежавшей заданной линии. Если же точка не принадлежала линии, то ее координаты решением соответствующего ур-ния не являлись. В частности, нам удалось получить уравнения прямой и окружности.

Аналогично в стереометрии вводится понятие уравнения поверхности. Так как в пространстве используются уже три координаты (х, у и z), то ур-ния поверхности содержат три переменных. Координаты всякой точки, принадлежащей поверхности, будут являться решениями ур-ния этой поверхности. И наоборот, координаты точки, не принадлежащей поверхности, будут обращать ур-ние поверхности в неверное равенство.

Выведем ур-ние сферы. Пусть ее центр располагается в точке С с координатами (х₀, у₀, z₀), а радиус обозначен как R. Возьмем произвольную точку А на сфере. По определению сферы расстояние между А и С должно составлять R:

Точки, координаты которых удовлетворяют этому неравенству, находятся от центра сферы на расстоянии меньше ее радиуса. Это значит, что они находятся внутри сферы, то есть принадлежат шару, чьей поверхностью является рассматриваемая сфера. Если же координаты точки удовлетворяют неравенству

то можно утверждать, что точка находится вне пределов сферы, то есть она не принадлежит ни сфере, ни шару.

Задание. Напишите уравнение сферы, центр которой располагается в точке (2; – 4; 7) и чей радиус равен 3.

Решение. Здесь мы просто подставляем координаты центра сферы и ее радиус в ур-ние сферы:

Задание. Есть сфера с радиусом 9, чей центр располагается в точке О(2; 3; 4). Определите, какие из следующих точек будут принадлежать этой сфере: А(1; 7; – 4), В(0; 6; 10), С(– 2; – 1; 11), D(5; 6; 8).

Решение. Сначала составляем уравнение сферы, описанной в условии:

Задание. Некоторое тело представляет собой шар, внутри которого есть полость, также имеющая форму шара, причем центры этих шаров совпадают. Докажите, что площадь сечения этого тела, проходящего через центр шаров, совпадает с площадью сечения, являющегося касательной к внутреннему шару.

Решение. Обозначим радиус большей сферы как R, а радиус меньшей (внутренней сферы) как r. Площадь центрального сечения в виде кольца (показано синим цветом) представляет собой разницу между площадью большого круга с радиусом R и малого с радиусом r:

Задание. Сфера радиусом 5 см касается каждой стороны треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см. Каково расстояние между центром этой сферы и плос-тью треугольника?

Решение. Обозначим вершины треугольника точками А, В и С. Пусть

Заметим, что плос-ть АВС – секущая, а само сечение имеет форму окруж-ти. Эта окруж-ть будет касаться сторон ∆АВС, то есть она является вписанной окруж-тью. Как вычислить ее радиус НK?

Площадь ∆АВС можно найти по формуле Герона. Предварительно найдем полупериметр ∆АВС:

Пересечение двух сфер

Пусть есть две пересекающиеся сферы с центрами в точках О₁ и О₂ с радиусами R₁ и R₂ соответственно. Какую форму будет иметь линия L, по которой они пересекаются?

Эта линия является множеством точек, которые принадлежат как первой, так и второй сфере. Обозначим две произвольные точки этой линии буквами А и В:

Проведем радиусы О₁А, О₁В, О₂А и О₂В. Теперь сравним ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂. Сторона О₁О₂ у них общая, а другие стороны попарно равны как радиусы сфер:

Получается, что ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂ равны. Теперь из точек А и В опустим высоты на прямую О₁О₂. Из равенства ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂ вытекает два факта:

Другими словами, А и В равноудалены от Н. Получается, что точки А и В находятся на окруж-ти, центр которой – точка Н. Заметим, что О₁О₂ – перпендикуляр к плоскости окружности, ведь О₁О₂⊥АН и О₁О₂⊥ВН.

Точки А и В были выбраны произвольно, поэтому можно утверждать, что любые точки линии L будут находиться на одной окруж-ти. Докажем и обратное утверждение – любая точка, лежащая на этой окруж-ти, будет принадлежать линии L. Возьмем на окруж-ти какую-нибудь точку С и построим радиус НС:

Теперь сравним ∆О₁НС и ∆О₁НА. Они прямоугольные, ведь О₁Н – перпендикуляр к плос-ти окружности. Катет О₁Н у них общий, а катеты АН и НС одинаковы как радиусы окруж-ти. Значит, ∆О₁НС и ∆О₁НА равны, и потому

Это равенство означает, что С принадлежит сфере с центром в О₁. Аналогично рассмотрев ∆О₂НС и ∆О₂НА, можно показать, что С также принадлежит и второй сфере. Тогда С принадлежит пересечению этих сфер.

Итак, всякая точка линии L лежит на окруж-ти с центром Н, и наоборот, каждая точка этой окруж-ти лежит на линии L. Это означает, что L как раз и является этой окружностью.

Отметим ещё один факт: по неравенству треугольника отрезок О₁О₂ должен быть меньше суммы отрезков О₁А и О₂А, то есть суммы радиусов сфер.

Задание. Сферы имеют радиусы 25 см и 29 см, а расстояние между их центрами составляет 36 см. Вычислите радиус окруж-ти, по которой они пересекаются.

Решение. Пусть А – одна их точек сечения. Искомый радиус обозначим как АН. В итоге получим такую картинку:

Площадь сферы

Сферическая поверхность, как и всякая другая ограниченная поверхность, имеет какую-то площадь. Напомним, что для вычисления площадей цилиндрической и конической поверхности мы строили их плоские развертки и находили площади уже этих разверток, используя формулы из планиметрии. Оказывается, что для сферы построить такую развертку невозможно. Мы не будем доказывать строго этот факт, но он известен из географии – любая карта Земли, которая как раз и должна быть разверткой сферической поверхности нашей планеты, является неточной и сильно искажает форму и размеры континентов. Если бы существовал способ построить точную развертку, то и географические карты не имели бы таких искажений.

Однако вычислить площадь сферы всё же можно по известной формуле:

Сейчас мы не будем доказывать эту формулу. Отметим лишь, что для ее получения необходимо использовать интегралы.

Задание. Какова площадь сферы с радиусом 5 см?

Решение. Просто используем формулу:

Вписанные и описанные сферы

Если каждая точка многогранника лежит на поверхности сферы, то говорят, что многогранник вписан в сферу. Тогда сферу именуют описанной, а многогранник – вписанным.

Если же сфера касается каждой грани многогранника, то уже наоборот, сфера вписана в многогранник. Тогда уже сфера будет вписанной фигурой, а многогранник – описанной.

Заметим, что не в каждый многогранник может быть вписанным или описанным. Например, в куб вписать сферу можно, а в прямоугольный параллелепипед, измерения которого отличаются, уже вписать сферу не получится.

Надо отметить, что в сферу можно вписать не только в многогранник, но и другие геометрические фигуры, в частности конус и цилиндр. Здесь нужно уточнить (без доказательства), что если касание плос-ти и сферы происходит только в одной точке, то цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы уже по окруж-ти.

Задание. Правильная пирамида вписана в сферу. Докажите, высота этой пирамиды проходит через центр сферы.

Решение. Опустим из центра сферы О перпендикуляр ОН на основание пирамиды. Далее возьмем произвольную вершину Х основания пирамиды, и соединим ее с Н отрезком ХН. По теореме Пифагора можно вычислить длину ХН (радиус сферы ОХ обозначим, буквой R):

Получилось, что расстояние ХН не зависит от самой точки Х. То есть все вершины основания равноудалены от точки, то есть Н – центр описанной около основания окруж-ти. Это означает, что перпендикуляр ОН одновременно является высотой правильной пирамиды, ч. т. д.

Задание. Вычислите радиус описанной сферы, в которую вписан правильный тетраэдр со стороной а.

Решение. Правильный тетраэдр можно считать правильной треугольной пирамидой, поэтому (согласно предыдущей задаче) из центра сферы О можно опустить перпендикуляр на основание АВС, который упадет в точку Н – центр основания. Так как тетраэдр правильный, то ∆АВС – равносторонний, то есть Н – эта точка пересечения и медиан, и высот. Опустим из А высоту АК, она пройдет через Н. Так как АК – ещё и медиана, то

Далее найдем длину АН. Вспомним, что АН – медиана, а точка пересечения медиан Н делит их в отношении 2:1. Это значит, что

Буквой R здесь обозначен радиус описанной сферы. Осталось применить теорему Пифагора к ∆АНD:

Задание. Докажите что вокруг любого тетраэдра можно описать сферу.

Решение. Обозначим вершины произвольного тетраэдра буквами А, В, С и D. Далее на грани АВС отметим точку К – центр окруж-ти, описанной около ∆АВС. Аналогично на грани АВD отметим Н – центр окруж-ти, описанной около ∆АВD:

Напомним, что центры описанных окружностей располагаются в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Это значит, что если мы из К и Н опустим перпендикуляры на ребро АВ, то эти перпендикуляры будут серединными, то есть они попадут в одну точку М, являющуюся серединой ребра АВ.

Мы получили плос-ть НМК. Заметим, что НМК⊥АВ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как АВ⊥МН и АВ⊥МК. Но тогда АВС⊥МНК уже по признаку перпендикулярности плоскостей, ведь АВС проходит через АВ, являющийся перпендикуляром к НМК. По той же причине и АВD⊥НМК.

Далее проведем через К перпендикуляр m к АВС. Он должен будет принадлежать НМК, ведь НМК⊥АВD. Аналогично и через Н проведем перпендикуляр n к АВD, который также будет принадлежать НМК.

В плос-ти НМК есть две прямые, mи n. Они либо параллельны, либо пересекаются. Но перпендикуляры к двум плос-тям могут быть параллельны только в случае, если сами эти плос-ти параллельны (или совпадают). Но АВС и АВD непараллельны и не совпадают, поэтому m и n непаралелльны, то есть они пересекаются в какой-то точке О.

Покажем, что точка О равноудалена от всех вершин тетраэдра. Сравним ∆АОК и ∆СОК. Они прямоугольные, ведь ОК – перпендикуляр к АВС. ОК – общий катет, а катеты АК и СК одинаковы как радиусы описанной окруж-ти. Значит, ∆АОК и ∆СОК равны, ОА = ОС. Аналогично рассмотрев ∆АОК и ∆ВОК, приходим к выводу, что ОА = ОВ. Далее рассматриваем ∆ОНD и ∆ОНА и получаем, что ОА = ОD. Эти три равенства все вместе означают, что О равноудалена от точек А, В, С и D. А это значит, что на сфере с центром О и радиусом ОА будут лежать все вершины тетраэдра, то есть такая сфера окажется описанной, ч. т. д.

Примечание. Несложно доказать, что описанная сфера будет единственной. Действительно, если бы около тетраэдра можно было описать две различных сферы, то они пересекались бы в точках А, В, С и D. Сферы пересекаются по окруж-ти, то есть А, В, С и D должны лежать на одной окруж-ти, но это невозможно, ведь они не располагаются в одной плос-ти. Значит, двух описанных сфер существовать не может.

Доказанное в задаче утверждение можно сформулировать несколько иначе:

Сегодня мы изучили сферу – одну из важнейших геометрических фигур. Именно сферическую форму имеют звезды и планеты. Жидкость, оказавшаяся в невесомости, также принимает форму шара. Важно запомнить, что сечение сферы имеет форму окруж-ти, и касательные к сфере обладают почти такими ми же свойствами, как и касательные к окруж-ти в планиметрии.

Источник

Плоская, сферическая или гиперболическая форма нашей Вселенной?

В нашем представлении Вселенная бесконечна. Сегодня мы знаем, что Земля имеет форму сферы, но о форме Вселенной мы задумываемся редко. В геометрии есть множество трехмерных форм в качестве альтернативы «привычному» бесконечному пространству. Авторы в максимально доступной форме объясняют разницу.

Глядя на ночное небо, кажется, что космос продолжается вечно во всех направлениях. Так мы себе Вселенную и представляем — но не факт, что верно. В конце концов, было время, когда все думали, что Земля плоская: искривление земной поверхности незаметно, а мысль, что Земля круглая, казалась непостижимой.

Сегодня мы знаем, что Земля имеет форму сферы. Но о форме Вселенной мы задумываемся редко. Как сфера пришла на смену плоской Земле, так и другие трехмерные формы предлагают альтернативы «привычному» бесконечному пространству.

Насчет формы Вселенной можно задать два вопроса — отдельных, но взаимосвязанных. Один насчет геометрии — скрупулезных подсчетов углов и площади. Другой — про топологию: как отдельные части сливаются в единую форму.

Космологические данные позволяют предположить, что видимая часть Вселенной гладкая и однородная. Местная структура пространства выглядит почти одинаково в каждой точке и по всем направлениям. Этим характеристикам соответствуют лишь три геометрические формы — плоская, сферическая и гиперболическая. Давайте рассмотрим по очереди эти формы, некоторые топологические соображения и выводы на основе космологических данных.

Плоская вселенная

По сути это школьная геометрия. Сумма углов треугольника составляет 180 градусов, а площадь круга равна πr2. Простейший пример плоской трехмерной формы — обычное бесконечное пространство, его математики называют евклидовым, но есть и другие плоские варианты.

Представить себе эти формы непросто, но мы можем подключить интуицию, думая в двух измерениях вместо трех. Помимо обычной евклидовой плоскости мы можем создать и другие плоские формы, вырезав некий кусок плоскости и склеив его края. Предположим, что мы вырезали прямоугольный лист бумаги и склеили скотчем его противоположные края. Если склеить верхний край с нижним, получится цилиндр.

Еще можно склеить правый край с левым — тогда получим бублик (математики эту форму называют тором).

Вы, наверное, возразите: «Что-то не очень-то плоско получается». И будете правы. Мы немного слукавили насчет плоского тора. Если вы действительно попытаетесь таким образом сделать тор из листа бумаги, то столкнетесь с некоторыми трудностями. Сделать цилиндр легко, но склеить его концы не получится: бумага по внутреннему кругу тора сомнется, а на внешний круг ее не хватит. Так что придется взять какой-нибудь эластичный материал. Но растяжение меняет длину и углы, а значит и всю геометрию.

Внутри обычного трехмерного пространства построить реальный гладкий физический тор из плоского материала без искажения геометрии невозможно. Остается абстрактно порассуждать о том, каково это — жить внутри плоского тора.

Представьте себе, что вы — двумерное существо, чья вселенная представляет собой плоский тор. Поскольку форма этой вселенной основана на плоском листе бумаги, все геометрические факты, к которым мы привыкли, остаются прежними — по крайней мере, в ограниченном масштабе: сумма углов треугольника составляет 180 градусов и так далее. Но из-за изменений в глобальной топологии за счет обрезки и склеивания жизнь круто изменится.

Начнем с того, что в торе есть прямые линии, которые зацикливаются и возвращаются в исходную точку.

На искаженном торе они выглядят изогнутыми, но обитателям плоского тора покажутся прямыми. А поскольку свет распространяется по прямой, то, если вы посмотрите прямо в любом направлении, — увидите себя же сзади.

Это как если бы на оригинальном листе бумаги свет прошел сквозь вас, дошел до левого края, а затем снова появился справа, словно в видеоигре.

Вот еще один способ представить это: вы (или луч света) пересекаете один из четырех краев и оказываетесь словно в новой комнате, но на самом деле это та же самая комната, только с другой точки зрения. Бродя по такой вселенной, вы встретите бесконечное множество копий оригинальной комнаты.

Это означает, что вы уведите бесконечное множество собственных копий, куда бы ни поглядели. Это своего рода эффект зеркала, только копии эти не совсем отражения.

На торе каждая из них соответствует тому или иному витку, по которому свет возвращается обратно к вам.

Точно так же мы получим плоский трехмерный тор, склеивая противоположные грани куба или другой коробки. Изобразить это пространство внутри обычного бесконечного пространства мы не сможем — оно попросту не влезет — зато сможем абстрактно порассуждать о жизни внутри него.

Если жизнь в двумерном торе похожа на бесконечный двумерный массив одинаковых прямоугольных комнат, то жизнь в трехмерном торе похожа на бесконечный трехмерный массив одинаковых кубических комнат. Вы тоже увидите бесконечное множество собственных копий.

Трехмерный тор — лишь один из десяти вариантов конечного плоского мира. Существуют и бесконечные плоские миры — например, трехмерный аналог бесконечного цилиндра. В каждом из этих миров будет своя «комната смеха» с «отражениями».

Может ли наша Вселенная быть одной из плоских форм?

Когда мы смотрим в космос, то не видим бесконечного множества собственных копий. Несмотря на это, исключить плоские формы непросто. Во-первых, у всех у них та же локальная геометрия, что и у евклидова пространства, поэтому различить их местными измерениями не удастся.

Допустим, вы даже увидели собственную копию, это далекое изображение лишь показывает, как вы (или ваша галактика в целом) выглядели в далеком прошлом, поскольку свет проделал немалый путь, пока дошел до вас. Может быть, мы даже видим собственные копии, — но измененные до неузнаваемости. Более того, разные копии находятся на разных расстояниях от вас, поэтому друг на друга не похожи. И к тому же настолько далеко, что мы все равно ничего не увидим.

Чтобы обойти эти трудности, астрономы обычно ищут не свои копии, а повторяющиеся черты в самом далеком из видимых явлений — космическом микроволновом фоновом излучении, это реликт Большого взрыва. На практике это означает поиск пар окружностей с совпадающими узорами горячих и холодных точек, — предполагается, что это одно и то же, только с разных сторон.

Как раз такой поиск астрономы провели в 2015 году благодаря космическому телескопу Планка. Они свели вместе данные по типам совпадающих кругов, которые мы рассчитываем увидеть внутри плоского трехмерного тора или другой плоской трехмерной формы, — так называемой плиты, — но ничего не нашли. Это означает, что если мы действительно живем в торе, то он, по всей видимости, настолько велик, что любые повторяющиеся фрагменты лежат за пределами наблюдаемой Вселенной.

Сферическая форма

С двумерными сферами мы хорошо знакомы — это поверхность шара, апельсина или Земли. Но что, если наша Вселенная — трехмерная сфера?

Изобразить трехмерную сферу трудно, но ее легко описать с помощью простой аналогии. Если двумерная сфера — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в обычном трехмерном пространстве, трехмерная сфера (или «трисфера») — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в четырехмерном пространстве.

Жизнь внутри трисферы сильно отличается от жизни в плоском пространстве. Чтобы представить себе ее, представьте, что вы — двумерное существо в двумерной сфере. Двумерная сфера — это вся Вселенная, поэтому окружающее вас трехмерное пространство вы не видите и попасть в него не можете. В этой сферической Вселенной свет движется кратчайшим путем: по большим кругам. Но вам эти круги кажутся прямыми.

А теперь представьте, что вы с двухмерным приятелем зависаете на Северном полюсе, и он отправился на прогулку. Удаляясь, поначалу он будет постепенно уменьшаться в вашем зрительном круге — как и в обычном мире, пусть и не так быстро, как мы привыкли. Это потому, что по мере роста вашего зрительного круга ваш друг занимает все меньший его процент.

Но как только ваш приятель перевалит экватор, случится нечто странное: он начнет увеличиваться в размерах, хотя на самом деле продолжает удаляться. Это потому, что процент, который он занимают в вашем визуальном круге, растет.

В трех метрах от Южного полюса ваш друг будет выглядеть так, словно он стоит в трех метрах от вас.

Дойдя до Южного полюса, он и вовсе заполнит весь ваш видимый горизонт.

А когда на Южном полюсе нет никого, ваш зрительный горизонт будет еще страннее — это вы сам. Это потому, что излучаемый вами свет будет распространяться по всей сфере, пока не вернется обратно.

Это напрямую влияет на жизнь в трехмерной сфере. Каждая точка трисферы имеет противоположную, и если там находится некий объект, мы увидим его во все небо. Если там нет ничего, мы увидим фоном самого себя — как будто нашу внешность наложили на воздушный шар, затем вывернули наизнанку и раздули во весь горизонт.

Но даже при том, что трисфера — основополагающая модель для сферической геометрии, это далеко не единственное из возможных пространств. Как мы строили разные плоские модели, вырезая и склеивая куски евклидова пространства, так мы можем построить и сферические, склеив подходящие куски трисферы. Каждая из этих склеенных форм будет, как и тор, иметь эффект «комнаты смеха», только число комнат в сферических формах будет конечное.

Что, если наша Вселенная сферическая?

Даже самые самовлюбленные из нас не видят себя фоном вместо ночного неба. Но, как и в случае с плоским тором, то, что мы чего-то не видим, вовсе не означает, что его не существует. Границы сферической вселенной могут быть больше пределов видимого мира, и фон попросту не видно.

Но в отличие от тора сферическую вселенную можно обнаружить с помощью местных измерений. Сферические формы отличаются от бесконечного евклидова пространства не только глобальной топологией, но и малой геометрией. Например, поскольку прямые линии в сферической геометрии представляют собой большие круги, тамошние треугольники более «пухлые», чем евклидовы, и сумма их углов превышает 180 градусов.

По сути, измерение космических треугольников — это основной способ проверить, насколько искривлена Вселенная. Для каждого горячего или холодного пятна на космическом микроволновом фоне известны его диаметр и расстояние от Земли, образующие три стороны треугольника. Мы можем измерить угол, образованный пятном на ночном небе — и это будет один из углов треугольника. Затем можем проверить, соответствует ли сочетание длины сторон и суммы углов плоской, сферической или гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника составляет менее 180 градусов).

Большинство таких подсчетов, наряду с другими измерениями искривления, предполагают, что Вселенная либо совсем плоская, либо очень к этому близка. Одна исследовательская группа недавно предположила, что часть данных с космического телескопа Планка за 2018 год скорее говорит в пользу сферической Вселенной, хотя другие исследователи возразили, что приведенные доказательства можно списать на статистическую погрешность.

Гиперболическая геометрия

В отличие от сферы, которая замыкается на саму себя, гиперболическая геометрия или пространство с отрицательной кривизной раскрывается наружу. Это геометрия широкополой шляпы, кораллового рифа и седла. Базовая модель гиперболической геометрии представляет собой бесконечное пространство, как и плоское евклидово. Но поскольку гиперболическая форма расширяется наружу гораздо быстрее плоской, то нет способа уместить даже двумерную гиперболическую плоскость внутри обычного евклидова пространства, если мы не хотим искажать его геометрию. Но есть искаженное изображение гиперболической плоскости, известное как диск Пуанкаре.

С нашей точки зрения, треугольники около граничного круга кажутся гораздо меньше, чем те, что у центра, но с точки зрения гиперболической геометрии все треугольники одинаковы. Если бы мы попытались изобразить эти треугольники действительно одинакового размера — возможно, используя эластичный материал и надувая каждый треугольник по очереди, двигаясь от центра наружу — наш диск стал бы напоминать широкополую шляпу и изгибался бы все сильнее. А по мере приближения к границе это искривление вышло бы из-под контроля.

В обычной евклидовой геометрии окружность круга прямо пропорциональна его радиусу, но в гиперболической геометрии окружность относительно радиуса растет по экспоненте. Вблизи границы гиперболического диска образуется нагромождение треугольников

Из-за этой особенности математики любят говорить, что в гиперболическом пространстве легко заблудиться. Если ваш друг отойдет от вас в обычном евклидовом пространстве, он начнет удаляться, но довольно медленно, потому что ваш зрительный круг растет не так быстро. В гиперболическом же пространстве ваш зрительный круг увеличивается в геометрической прогрессии, поэтому ваш друг вскоре сожмется до бесконечно малого пятнышка. Так что, если вы не следили за его маршрутом, вы его вряд ли потом отыщете.

Еще в гиперболической геометрии сумма углов треугольника составляет менее 180 градусов — так, сумма углов некоторых треугольников из мозаики диска Пуанкаре составляет всего 165 градусов.

Их стороны кажутся непрямыми, но это потому, что мы смотрим на гиперболическую геометрию через искажающую линзу. Для обитателя диска Пуанкаре эти кривые — на самом деле прямые линии, так что быстрейший способ добраться из точки А в точку Б (обе на краю) — через срезку к центру.

Есть естественный способ сделать трехмерный аналог диска Пуанкаре — взять трехмерный шар и наполнить его трехмерными формами, которые постепенно уменьшаются по мере приближения к граничной сфере, как треугольники на диске Пуанкаре. И, как и с плоскостями, и сферами, мы можем создать целое множество других трехмерных гиперболических пространств, вырезая подходящие куски трехмерного гиперболического шара и склеивая его грани.

Что же, наша Вселенная гиперболическая?

Гиперболическая геометрия с ее узкими треугольниками и экспоненциально растущими кругами совсем не похожа на пространство вокруг нас. И действительно, как мы уже заметили, большинство космологических измерений склоняется к плоской Вселенной.

Но мы не можем исключить, что живем в сферическом или гиперболическом мире, ведь малые фрагменты обоих миров выглядят почти что плоскими. Например, сумма углов малых треугольников в сферической геометрии составляет лишь чуть больше 180 градусов, а в гиперболической геометрии — лишь чуть меньше.

Вот почему древние думали, что Земля плоская, — невооруженным глазом кривизну Земли не видно. Чем больше сферическая или гиперболическая форма, тем более плоской является каждая ее часть, поэтому если наша Вселенная имеет чрезвычайно большую сферическую или гиперболическую форму, видимая ее часть настолько близка к плоской, что ее кривизну можно обнаружить лишь сверхточными инструментами, а их мы пока не изобрели.

Источник