Силы тяготения являются консервативными. Это значит, что работа в поле этих сил пропорциональна произведению масс m и M материальных точек и зависит только от начального и конечного положения этих точек. Покажем это на простом примере (рис. 7.2).
Определим работу, совершенную силами поля тяготения при перемещении в нём материальной точки массой m (работу по удалению материальной точки массой m от Земли массой M на расстояние r).
На данную точку в положении 1 действует сила .
рис. 7.2
При перемещении этой точки на расстояние dr, совершается работа
Из (7.3.1) следует, что работа А, совершенная консервативными силами, равна уменьшению потенциальной энергии системы.
В нашем случае работа равна уменьшению потенциальной энергии U материальной точки, перемещающейся в поле тяготения.
Рис. 7.3
Принято считать, что потенциальная энергия на поверхности Земли равна нулю. Штрихованной линией показана потенциальная энергия внутри Земли. При r = 0 в центре Земли
Если условиться считать, что потенциальная энергия точки m стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от источника поля точки M, тогда
и ,
или, в силу произвольности выбора точки 1,
Величина φ, равная отношению потенциальной энергии матери-альной точки в поле тяготения к массе m,
По аналогии с электростатическим полем, роль заряда здесь выполняет масса m.
Потенциал поля тяготения, создаваемый одной материальной точкой с массой M, равен , где r – расстояние от этой точки до рассматриваемой точки поля.
Из сопоставления двух последних соотношений следует
Между двумя характеристиками поля тяготения – напряженностью и потенциалом – существует взаимосвязь.
Вектор напряженности может быть выражен как градиент скалярной функции гравитационного потенциала φ:
Гравитационное поле можно изобразить с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей (рис. 7.4). Эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Линии напряженности (силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Графическая зависимость напряженности гравитационного поля Земли (и ускорения а) от расстояния до центра Земли изображена на рисунке 7.5.
Из рисунка видно, что внутри Земли растет пропорционально r, а вне Земли убывает . Так же и ускорение – внутри Земли; – вне Земли.
Закон всемирного тяготения и механика Ньютона явились величайшим достижением естествознания. Они с большой точностью описывают обширный круг явлений, в том числе движение в иных системах небесных тел – двойных звезд в звездных скоплениях, галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование планеты Нептун, спутников Сириуса и др. В астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются движение, строение и эволюция небесных тел. Однако, в некоторых случаях, поле тяготения и движение физических объектов в полях тяготения не может быть описано законами Ньютона. Сильные гравитационные поля и движение в них с большими скоростями описываются в общей теории относительности (ОТО), созданной А. Эйнштейном.
Силы тяготения являются консервативными. Эго значит, что работа в поле этих сил пропорциональна произведению масс т и М материальных точек и зависит только от начального и конечного положения этих точек. Покажем это на простом примере (рис. 8.5).
Определим работу, совершенную силами поля тяготения при перемещении в нём материальной точки массой т (работу по удалению материальной точки массой т от Земли массой М на расстояние /*).
Рис. 8.5. К определению работы сил гравитационного поля при перемещении материальной точки массы т из полож ения 1 в положение 2
При перемещении этой точки на расстояние dr совершается работа
(знак минус показывает, что сила и перемещение противоположны). Тогда общая работа
Эта формула показывает, что затраченная работа не зависит от траектории, а зависит лишь от координат точки.
Работа консервативных сил при перемещении точки т вдоль произвольного замкнутого контура L тождественноравна нулю:
1
Эти интегралы называются циркуляцией соответствующих векторов F и G вдоль замкнутого контура. Равенство нулю этих циркулирующих векторов является необходимым и достаточным признаком консервативности силового поля F.
Из (8.3.1) следует, что работа А, совершенная консервативными силами, равна уменьшению потенциальной энергии системы. В нашем случае работа равна уменьшению потенциальной энергии U материальной точки, перемещающейся в поле тяготения.
В случае поля тяготения создаваемого материальной точкой с массой М
При рассмотрении гравитационного поля Земли формулу (8.3.3) можно переписать в виде
Рис. 8.6. Зависимость потенциальной энергии гравитационного поля от расстояния до центра Земли
Принято считать, что потенциальная энергия на поверхности Земли равна нулю (рис. 8.6). Штрихованной линией здесь показана потенциальная энергия внутри Земли. При г = 0, в центре Земли:
Если условиться считать, что потенциальная энергия точки т стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от источника поля точки Л/, тогда из (8.3.3) получаем
или, в силу произвольности выбора точки К
Величину Еп называют взаимной потенциальной энергией обеих точек.
Величина (р равна отношению потенциальной энергии материальной точки в поле тяготения к массе т:
является энергетической характеристикой самого поля тяготения и называется потенциалом поля тяготения.
рассматриваемой точки поля.
Из сопоставления двух последних соотношений следует
т. е. потенциал в некоторых точках поля, являющегося результатом наложения полей, равен сумме потенциалов в этой точке, соответствующих каждому из полей в отдельности (принцип суперпозиции).
1
Таким образом, вектор напряженности G может быть выражен как градиент скалярной функции гравитационного потенциала ср: где
Здесь вектор, называемый градиентом потенциала со знаком минус, показывает, что в каждой точке поля тяготения вектор напряженности G направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала.
Гравитационнос поле можно изобразить с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей (рис. 8.7).
с одинаковым потенциалом. Линии напряженности G (силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Графическая зависимость напряженности гравитационного поля Земли (и ускорения а) от расстояния до центра Земли изображена на рис. 8.8.
Из рисунка видно, что внутри Земли G растет пропорционально г,
а вне Земли убывает
Рис. 8.7. Линии напряженности G и Рис. 8.8. Зависимость
эквипотенциальные поверхности (р/ и напряженности G и ускорения а (р2гравитационного поля от расстояния до центра Земли
Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу. Исаак Ньютон на основе многолетних данных астрономических наблюдений и законов динамики сформулировал закон всемирного тяготения : две любые материальные точки массами m 1 и m 2 притягиваются друг к другу вдоль линии соединяющей точки с силой прямо пропорциональной произведению масс точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними:
Земля не является «материальной точкой» для тел, расположенных на ее поверхности. Теоретически доказано, что сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные вне ее, равна силе, которую создавала бы материальная точка массой (М), равной массе Земли, и расположенная в центре Земли. Назовем силой тяжести силу, с которой тело взаимодействует с планетой, вблизи которой оно находится.
В соответствии с законом всемирного тяготения на материальную точку массой (m) со стороны Земли будет действовать сила тяжести, равная
Если тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести, то вес тела будет равен нулю:
1) вес тела равен нулю когда тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести ( ) в лифте вертикально вниз;
Закон всемирного тяготения определяет величину и направление силы всемирного тяготения, но не отвечает на вопрос как осуществляется это взаимодействие. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.
1. Напряженность гравитационного поля ( ), силовая характеристика поля, равна силе, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой (это ничто иное как ускорение, с которым тело движется в поле тяготения):
Независимо от своей массы все тела под действием силы тяжести движутся с одинаковым ускорением ( )
Единица измерения [φ]=Дж/кг.
Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна:
Тогда работа гравитационного поля по перемещению тела из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 равна:
Работа гравитационного поля по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек, на замкнутом пути работа гравитационного поля равна нулю. То есть, сила всемирного тяготения и сила тяжести являются консервативными.
В качестве примера рассмотрим гравитационное поле материальной точки.
Наглядную картину поля представляет набор линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, например, гравитационное поле материальной точки представлено на рисунке (1.8.2).
Мы уже упоминали, что гравитационное поле Земли можно рассматривать, как поле материальной точки расположенной в центре Земли. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h относительно Земли:
Потенциальная энергия тела на высоте h над поверхностью Земли, равна:
Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом и напряженностью поля тяготения.
Элементарная работа, совершаемая полем при малом перемещении тела массой (m), равна
Величина dφ/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения, это ничто иное, как градиент потенциала.
Таким образом, напряженность гравитационного поля численно равна градиенту потенциала гравитационного поля и направлена в сторону его уменьшения:
На Земле приблизительно инерциальными являются системы отсчета, которые покоятся или движутся равномерно и прямолинейно относительно точек на поверхности Земли.
Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, рассматривают три варианта проявления этих сил.
1. Сила инерции возникает при ускоренном поступательном движении системы отсчета и направлена против вектора ускорения неинерциальной системы отсчета :
Действию центробежной силы инерции подвергаются пассажиры в движущемся транспорте на поворотах; летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах, где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.
равна произведению удвоенной массы тела на векторное произведение скорости поступательного движения тела относительно системы отсчета и угловой скорости вращения системы отсчета. Эта сила направлена перпендикулярно векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы в соответствии с правилом правого винта.
Земля представляет собой вращающуюся систему отсчета и действие силы Кориолиса объясняет ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис.1.8.4), то сила Кориолиса будет направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на восток. Если тело движется в юг, то сила Кориолиса также направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.
Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета : произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции):
Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета, поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона. Два основных положения механики: 1) ускорение всегда вызывается силой; 2) сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в неинерциальных системах отсчета одновременно не выполняются.
Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета, в инерциальных системах отсчета таких сил не существует.
Все тела независимо от их масс и химического состава, получают в данном гравитационном поле одинаковые ускорения. Поэтому в таком поле они движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают свободно движущиеся тела, если их движение рассматривать относительно какой-либо неинерциальной системы отсчета.
Силы инерции, действующие на тела неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия.
Все механические явления и движения в лифте будут в точности такими же, что и в неподвижном лифте, висящем в поле тяжести.
Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.
Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.
Принципа эквивалентности Эйнштейна: все физические явления в поле сил тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.
Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции можно рассматривать как принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс тела.
:
потенциальная энергия П2 = 0.
Потенциал поля тяготения:
является
(вытекает из полученного выше)
(dl – элементарное перемещение)
, откуда 
,
и 
, то, учитывая, что h
.
и 
,
, где r – расстояние от этой точки до рассматриваемой точки поля.
может быть выражен как градиент скалярной функции гравитационного потенциала φ:
(силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
. Так же и ускорение 
– внутри Земли; 
– вне Земли.
описываются в общей теории относительности (ОТО), созданной А. Эйнштейном.
1
1
