Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.
Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.
Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.
Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.
Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.
Меридианы шара (сферы).
Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.
Основные геометрические формулы шара (сферы).
Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:
Определения, связанные с понятием шара.
Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:
Замкнутый шар с центром в x0 и радиусом r можно выразить так:
Свойства шара.
Sцил и Vцил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.
Части шара.
Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.
Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:
Сумма (S’) очень близка к площади поверхности шара (S).
Сумма объёмов всех пирамид (V’) приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:
которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.
где D — диаметр шара.
Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.
Облачные решения хороши тем, что позволяют создавать проекты любой сложности, вплоть до виртуального дата-центра. Если попробовать визуализировать эти структуры, то получится этакая мини-вселенная. Давайте поиграем с геометрией, попробовав визуализировать разные модели нашей вселенной.
В нашем сознании вселенная кажется бесконечной. Но с помощью геометрии мы можем рассмотреть различные трехмерные формы, которые предлагают альтернативу «обычному» бесконечному пространству.
Когда смотришь на ночное небо, кажется, будто пространство расширяется во всех направлениях. Такова наша ментальная модель вселенной, но она не всегда является верной. В конце концов, было время, когда все думали, что Земля плоская, потому что изгибы нашей планеты было чрезвычайно трудно заметить, а уж про сферическую форму Земли и вовсе не думали.
Сегодня мы знаем, что Земля имеет форму сферы. Но мало кто задумывается о форме Вселенной. Подобно тому, как сфера стала альтернативой плоской Земле, другие трехмерные формы предлагают альтернативу «обычному» бесконечному пространству.
Мы можем задать два разных, но все же тесно связанных между собой вопросов о форме Вселенной. Один из них касается её геометрии: мелкозернистых локальных измерений таких элементов, как углы и области. Другой — о топологии: как эти локальные части сшиваются в общую форму.
Космологические данные свидетельствуют о том, что часть Вселенной, которую мы можем видеть, гладкая и однородная, по крайней мере приблизительно. Локальная ткань пространства выглядит одинаково в каждой точке и во всех направлениях. Только три геометрические формы подходят под это описание: плоская, сферическая и гиперболическая. Давайте рассмотрим эти модели, некоторые топологические предположения а также то, что говорят космологические данные о формах лучше всего описывающих нашу вселенную.
Плоская геометрия (планиметрия)
Это геометрия, которую мы изучали в школе. Углы треугольника составляют 180 градусов, а площадь круга — πr2. Самым простым примером плоской трёхмерной формы является обычное бесконечное пространство — то, что математики называют евклидовым пространством, — но есть и другие плоские формы, которые тоже нужно учитывать.
Эти формы сложнее визуализировать, но мы можем попробовать пофантазировать, думая в двух измерениях, а не в трёх. В дополнение к обычной евклидовой плоскости, мы можем создать другие плоские формы, вырезая часть плоскости и скрепляя её края вместе. Например, предположим, что мы вырезаем прямоугольный лист бумаги и скрепляем его противоположными краями. Склеивание верхней и нижней граней даёт нам цилиндр:
Потом мы можем заклеить правый и левый края, чтобы получить пончик (то, что математики называют тором):
Теперь вы, наверное, думаете: «но мне не кажется это плоским». И будете правы. Мы немного сжульничали, описывая, как устроен плоский тор. Если бы вы действительно попытались сделать тор из листа бумаги таким образом, вы бы столкнулись с определенными трудностями. Сделать цилиндр было бы легко, но заклеить концы цилиндра у вас бы не вышло: Бумага сминалась бы по внутреннему кругу тора и не растягивалась бы достаточно далеко по внешнему кругу. Вместо бумаги пришлось бы использовать какой-нибудь растягивающийся материал. Но это растяжение искажает длины и углы, меняя геометрию.
Внутри обычного трёхмерного пространства невозможно построить реальный, гладкий физический тор из плоского материала без искажения его геометрии. Но мы можем отвлечённо порассуждать о том, каково это — жить внутри плоского тора.
Представьте, что вы двумерное существо, чья вселенная — плоский тор. Поскольку геометрия этой вселенной происходит от плоского листа бумаги, все геометрические факты, к которым мы привыкли, такие же, только в маленьком масштабе: углы в треугольнике суммируются до 180 градусов и так далее. Но изменения, которые мы внесли в глобальную топологию путём вырезания и заклеивания, означают, что опыт пребывания в торе будет сильно отличаться от того, к чему мы привыкли.
Для начала, на торе есть прямые пути, которые изгибаются и возвращаются туда, откуда начинались:
Эти пути выглядят изогнутыми на искаженном торе, но обитателям плоского тора они кажутся прямыми. А так как свет распространяется по прямым путям, то если посмотрите прямо, то увидите себя сзади:
На листе бумаги свет, который вы видите, проходил сзади, пока не достигал левого края, а затем снова появился справа, как будто в видеоигре:
Можно представить это иначе. Например, вы (или луч света) пересекаете одну из четырёх границ, появляясь в том, что кажется новой «комнатой». Но на самом деле это та же самая комната, только увиденная с новой перспективы.
Это значит, что вы также можете видеть бесконечное множество различных копий себя, глядя в разных направлениях. Это своего рода эффект «Зеркального коридора», за исключением того, что копии вас не являются отражениями:
На пончике они соответствуют множеству различных колец, по которым свет может перемещаться от вас к вам:
Точно так же мы можем построить плоский трехмерный тор, приклеив противоположные стороны куба. Визуализировать это пространство как объект внутри обычного бесконечного пространства не получится, но мы можем абстрактно рассуждать о жизни внутри него.
Подобно тому, как жизнь в двухмерном торе была подобна жизни в бесконечном двухмерном массиве одинаковых прямоугольных комнат, жизнь в трёхмерном торе подобна жизни в бесконечном трёхмерном массиве одинаковых кубических комнат. Вы увидите бесконечно много копий себя:
Трёхмерный тор — всего лишь один из 10 различных плоских конечных миров. Существуют также плоские бесконечные миры, такие как трехмерный аналог бесконечного цилиндра. В каждом из этих миров существует разный набор зеркальных залов.
Является ли наша Вселенная одной из этих плоских форм?
Когда мы смотрим в космос, мы не видим бесконечно много копий себя. Тем не менее, на удивление трудно исключить эти плоские формы. Во-первых, они все имеют одну и ту же локальную геометрию, что и евклидово пространство, поэтому никакое локальное измерение не может различить их.
И если бы вы увидели копию себя, то это далёкое изображение показало бы, как вы (или ваша галактика, например) выглядели в далеком прошлом, так как свет должен был долго путешествовать, чтобы добраться до вас. Может быть, мы видим там неузнаваемые копии себя. Что ещё хуже, разные копии себя, как правило, находятся на разных расстояниях от вас, поэтому большинство из них будут выглядеть по-разному. И, возможно, они всё равно слишком далеко, чтобы мы могли их увидеть.
Чтобы обойти эти сложности, астрономы, как правило, ищут не копии самих себя, а повторяющиеся черты в самом дальнем из того, что мы можем видеть: космическое микроволновое фоновое (CMB) излучение, оставшееся после Большого взрыва. На практике это означает поиск пар кругов в реликтовом излучении, которые имеют совпадающие узоры горячих и холодных точек, что позволяет предположить, что это действительно один и тот же круг, который мы видим с двух разных точек.
В 2015 году астрономы провели именно такой анализ, используя данные с космического телескопа Планка. Они прочесали данные о видах совпадающих кругов, которые мы ожидали увидеть внутри плоского трехмерного тора или другой плоской трехмерной формы, называемой пластиной, но им не удалось их найти.
Это означает, что если мы действительно живем в торе, то он, вероятно, настолько велик, что любые повторяющиеся узоры лежат за пределами наблюдаемой вселенной.
Сферическая геометрия
Мы все знакомы с двумерными сферами — поверхностью шара, апельсина, Земли. Но что бы означало для нашей вселенной быть трёхмерной сферой?
Сложно представить себе трёхмерную сферу, но её легко описать с помощью простой аналогии. Подобно тому, как двумерная сфера — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в обычном трёхмерном пространстве, так и трёхмерная сфера (или «трехсфера») — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в четырёхмерном пространстве.
Жизнь в трёх сферах сильно отличается от жизни в плоском пространстве. Чтобы почувствовать это, представьте, что вы двухмерное существо, живущее в двухмерной сфере. Двухмерная сфера — это вся Вселенная — вы не можете видеть и не можете получить доступ ни к одному из окружающих трёхмерных пространств. Внутри этой сферической вселенной свет движется по кратчайшим путям: по большим кругам. Для вас эти большие круги кажутся прямыми линиями.
Теперь представьте, что вы и ваш двумерный друг тусуетесь на Северном полюсе, и ваш друг идет на прогулку. В то время как ваш друг прогуливается, вначале он будет становиться все меньше и меньше в вашем зрительном пространстве, так же, как и в нашем обычном мире (хотя он не будет уменьшаться так быстро, как мы привыкли). Это из-за того, что пока ваше зрительное пространство будет увеличиваться, ваш друг будет занимать все меньше и меньше места в нём:
Но как только друг проходит экватор, происходит что-то странное: он начинает казаться всё больше и больше, чем дальше уходит. Это потому, что процент, который он занимает в вашем зрительном пространстве, растёт:
Когда ваш друг будет в трёх метрах от Южного полюса, он будет выглядеть такими же большими, как и в трёх метрах от вас:
А когда он достигнет самого Южного полюса, его можно будет увидеть во всех направлениях, так что он заполнит весь ваш визуальный горизонт:
Если на Южном полюсе никого нет, то ваш визуальный горизонт — это нечто ещё более странное: вы сами. Всё потому, что свет, исходящий от вас, будет идти по всей сфере, пока не вернется к вам.
Это можно соотнести с жизнью в трёхмерной сфере. Каждая точка на трёхсфере имеет противоположную точку, и, если там есть объект, мы увидим его как фон, будто это небо. Если же там ничего нет, то вместо этого мы увидим самих себя в качестве фона – будто наш экстерьер был наложен на воздушный шар, затем вывернут наизнанку и надут, чтобы стать целым горизонтом.
Трёхсфера является фундаментальной моделью сферической геометрии, но это не единственное такое пространство. Подобно тому, как мы строили плоские пространства, вырезая кусок из евклидового пространства и склеивая его, мы можем строить сферические пространства, склеивая подходящий кусок из трех сфер. Каждая из этих склеенных форм, как и в торе, будет иметь эффект «лабиринта отражений», но в этих сферических формах есть только ограниченное количество комнат, через которые можно пройти.
Может ли наша Вселенная быть сферической?
Даже самые самовлюбленные люди не могут представить себя фоном всего ночного неба. Но, как и в случае с плоским тором, тот факт, что мы не видим какое-либо явление, не означает, что оно не может существовать. Окружность сферической вселенной может быть больше, чем размер обозримой вселенной, что делает фон слишком далёким, чтобы его можно было разглядеть.
Но в отличие от тора, сферическая вселенная может быть обнаружена с помощью чисто локальных измерений. Сферические формы отличаются от бесконечного евклидового пространства не только глобальностью топологии, но и тончайшей геометрией. Например, из-за того, что прямые линии в сферической геометрии представляют собой большие окружности, треугольники получаются более пухлые, чем их евклидовые аналоги, а сумма углов больше 180 градусов:
В сущности, измерение космических треугольников является основным способом, с помощью которого космологи проверяют, является ли Вселенная изогнутой. Для каждой горячей или холодной точки на космическом микроволновом фоне известны ее диаметр по горизонтали и расстояние от Земли, что образует три стороны треугольника. Мы можем измерить угол, под которым пятно скрывается в ночном небе — один из трёх углов треугольника. Затем проверить, подходит ли для плоской, сферической или гиперболической геометрии (в которой сумма углов треугольника больше 180 градусов) комбинация из длины сторон и измеренного угла.
Большинство таких исследований, наряду с другими измерениями кривизны, свидетельствуют о том, что Вселенная либо плоская, либо очень близка к плоской. Но одна исследовательская группа недавно заявила, что часть данных, полученных с помощью космического телескопа Планка в 2018 году, свидетельствуют о существовании сферической вселенной. Другие исследователи возражают против этого утверждения, полагая, что это скорее всего, статистическая случайность.
Гиперболическая геометрия
В отличие от сферы, которая изгибается сама по себе, гиперболическая геометрия раскрывается вовне. Это геометрия гибких шляп, коралловых рифов и седел. Базовая модель гиперболической геометрии – это бесконечное пространство, подобно плоскому евклидовому пространству. Но поскольку гиперболическая геометрия распространяется наружу намного быстрее, чем плоская, не существует способа поместить даже двумерную гиперболическую плоскость внутри обычного евклидового пространства, если только мы не хотим исказить его геометрию. Здесь, например, искажено представление о гиперболической плоскости, известной как диск Пуанкаре:
С нашей точки зрения, треугольники вблизи пограничного круга выглядят намного меньше, чем вблизи центра, но с точки зрения гиперболической геометрии все треугольники одинакового размера. Если бы мы попытались сделать треугольники одинакового размера – например, используя растягивающийся материал для нашего диска и увеличивая каждый треугольник по очереди, выходя наружу из центра, — наш диск стал бы похож на гибкую шляпу и сгибался бы все больше и больше по мере того, как мы прокладывали себе путь наружу. По мере приближения к границе, этот изгиб становился бы все более неконтролируемым.
С точки зрения гиперболической геометрии, граничная окружность бесконечно далека от любой внутренней точки, так как для этого нужно пересечь бесконечно много треугольников. Таким образом, гиперболическая плоскость простирается до бесконечности во всех направлениях, точно так же, как и евклидовая плоскость. Но с точки зрения локальной геометрии жизнь в гиперболической плоскости сильно отличается от того, к чему мы привыкли.
В простой евклидовой геометрии окружность прямо пропорциональна её радиусу, но в гиперболической геометрии окружность растет экспоненциально по сравнению с радиусом. Мы можем видеть экспоненциальное скопление в массах треугольников вблизи границы гиперболического диска.
Из-за этой особенности математики любят говорить, что в гиперболическом пространстве легко заблудиться. Если ваш друг уйдёт от вас в обычном евклидовом пространстве, он начнёт выглядеть меньше, но это будет происходить медленно, потому что ваш визуальный круг растёт не так стремительно. В гиперболическом пространстве ваш зрительный круг растёт в геометрической прогрессии, так что вскоре ваш друг будет выглядеть сжатым до экспоненциально мелкой точки. Если вы внимательно не отследили его маршрут, найти дорогу к нему будет практически невозможно.
А в гиперболической геометрии сумма углов треугольника составляет менее 180 градусов — например, треугольники в нашей плитке диска Пуанкаре имеют углы, составляющие 165 градусов:
Боковые стороны этих треугольников не выглядят прямыми, но это только потому, что мы смотрим на гиперболическую геометрию через искаженную линзу. Для жителя диска Пуанкаре эти кривые являются прямыми линиями, потому что самый быстрый способ добраться из точки A в точку B – срезать путь к центру:
Есть вполне закономерный способ изготовления трехмерного аналога диска Пуанкаре – просто сделайте трехмерный шар и заполните его трехмерными формами, которые становятся меньше по мере приближения к граничной зоне, как треугольники в диске Пуанкаре. И точно так же, как в плоской и сферической геометрии, мы можем сделать ряд других трехмерных гиперболических пространств, вырезая подходящий кусок трехмерного гиперболического шарика и склеивая его грани.
Может ли наша Вселенная быть гиперболической?
Гиперболическая геометрия, с ее узкими треугольниками и экспоненциально растущими кругами, не похожа на геометрию пространства вокруг нас. И действительно, как мы уже видели, большинство космологических измерений указывают на плоскую вселенную.
Но при этом возможность того, что мы живем либо в сферическом, либо в гиперболическом мире, не исключена, так как маленькие кусочки обоих этих миров выглядят почти плоскими. Например, малые треугольники в сферической геометрии имеют углы, которые составляют лишь чуть более 180 градусов, а малые треугольники в гиперболической геометрии имеют углы, которые составляют лишь чуть менее 180 градусов.
Неспроста древние люди считали, что Земля плоская – кривизна Земли была слишком мала, чтобы ее можно было обнаружить. Чем больше сферическая или гиперболическая форма, тем более плоская каждая маленькая деталь. Поэтому, если наша Вселенная имеет чрезвычайно большую сферическую или гиперболическую форму, то та часть, которую мы можем наблюдать, может быть настолько близка к плоской, что ее кривизна может быть обнаружена только с помощью сверхточных приборов, которые нам ещё только предстоит изобрести.
Что ещё полезного можно почитать в блоге Cloud4Y
Подписывайтесь на наш Telegram-канал, чтобы не пропустить очередную статью. Пишем не чаще двух раз в неделю и только по делу.
Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке
Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера
. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке
Лучшие условия по продуктам ТИНЬКОФФ по данной ссылке
План урока:
Понятие сферы и шара
Люди постоянно сталкиваются с предметами, имеющими форму шара. В большинстве спортивных игр (баскетболе, большом и настольном теннисе, футболе) используются мячи, которые по форме как раз являются шарами. Такую же форму имеют многие фрукты – яблоки, апельсины, мандарины. Более того, известно, что Земля, другие планеты и звезды, большинство крупных спутников также представляют собой шары.
Важно отличать шар от сферы. Сферой называют только поверхность шара. Сам же шар является объемной фигурой, к нему относят всю часть пространства, ограниченную сферой.
Дадим строгие определения сферы и шара:
Отрезок, соединяющий точку на сфере с ее центром, именуется радиусом сферы. Он же называется и радиусом шара, заключенного внутри этой сферы.
Проходящий через центр сферы отрезок, чьи концы принадлежат сфере, именуется диаметром сферы. Сама сфера считается частью шара, также как и окружность считается частью круга.Показывают шар или сферу на рисунке так:
Из определения сферы явно вытекает тот факт, что все ее радиусы одинаковы. Это в свою очередь означает, что центр сферы – это середина диаметра, и диаметр вдвое длиннее радиуса.
Заметим, что сфера является телом вращения. Она получается при повороте полуокружности вокруг ее диаметра:
Уравнение сферы
В планиметрии мы уже изучали уравнения линии. Так назывались ур-ния с двумя переменными, каждое решение которых соответствовало точке на координатной плос-ти, принадлежавшей заданной линии. Если же точка не принадлежала линии, то ее координаты решением соответствующего ур-ния не являлись. В частности, нам удалось получить уравнения прямой и окружности.
Аналогично в стереометрии вводится понятие уравнения поверхности. Так как в пространстве используются уже три координаты (х, у и z), то ур-ния поверхности содержат три переменных. Координаты всякой точки, принадлежащей поверхности, будут являться решениями ур-ния этой поверхности. И наоборот, координаты точки, не принадлежащей поверхности, будут обращать ур-ние поверхности в неверное равенство.
Выведем ур-ние сферы. Пусть ее центр располагается в точке С с координатами (х0, у0, z0), а радиус обозначен как R. Возьмем произвольную точку А на сфере. По определению сферы расстояние между А и С должно составлять R:
Точки, координаты которых удовлетворяют этому неравенству, находятся от центра сферы на расстоянии меньше ее радиуса. Это значит, что они находятся внутри сферы, то есть принадлежат шару, чьей поверхностью является рассматриваемая сфера. Если же координаты точки удовлетворяют неравенству
то можно утверждать, что точка находится вне пределов сферы, то есть она не принадлежит ни сфере, ни шару.
Задание. Напишите уравнение сферы, центр которой располагается в точке (2; – 4; 7) и чей радиус равен 3.
Решение. Здесь мы просто подставляем координаты центра сферы и ее радиус в ур-ние сферы:
Задание. Есть сфера с радиусом 9, чей центр располагается в точке О(2; 3; 4). Определите, какие из следующих точек будут принадлежать этой сфере: А(1; 7; – 4), В(0; 6; 10), С(– 2; – 1; 11),D(5; 6; 8).
Решение. Сначала составляем уравнение сферы, описанной в условии:
Задание. Некоторое тело представляет собой шар, внутри которого есть полость, также имеющая форму шара, причем центры этих шаров совпадают. Докажите, что площадь сечения этого тела, проходящего через центр шаров, совпадает с площадью сечения, являющегося касательной к внутреннему шару.
Решение. Обозначим радиус большей сферы как R, а радиус меньшей (внутренней сферы) как r. Площадь центрального сечения в виде кольца (показано синим цветом) представляет собой разницу между площадью большого круга с радиусом R и малого с радиусом r:
Задание. Сфера радиусом 5 см касается каждой стороны треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см. Каково расстояние между центром этой сферы и плос-тью треугольника?
Решение. Обозначим вершины треугольника точками А, В и С. Пусть
Заметим, что плос-ть АВС – секущая, а само сечение имеет форму окруж-ти. Эта окруж-ть будет касаться сторон ∆АВС, то есть она является вписанной окруж-тью. Как вычислить ее радиус НK?
Площадь ∆АВС можно найти по формуле Герона. Предварительно найдем полупериметр ∆АВС:
Пересечение двух сфер
Пусть есть две пересекающиеся сферы с центрами в точках О1 и О2 с радиусами R1 и R2 соответственно. Какую форму будет иметь линия L, по которой они пересекаются?
Эта линия является множеством точек, которые принадлежат как первой, так и второй сфере. Обозначим две произвольные точки этой линии буквами А и В:
Проведем радиусы О1А, О1В, О2А и О2В. Теперь сравним ∆АО1О2 и ∆ВО1О2. Сторона О1О2 у них общая, а другие стороны попарно равны как радиусы сфер:
Получается, что ∆АО1О2 и ∆ВО1О2 равны. Теперь из точек А и В опустим высоты на прямую О1О2. Из равенства ∆АО1О2 и ∆ВО1О2 вытекает два факта:
Другими словами, А и В равноудалены от Н. Получается, что точки А и В находятся на окруж-ти, центр которой – точка Н. Заметим, что О1О2 – перпендикуляр к плоскости окружности, ведь О1О2⊥АН и О1О2⊥ВН.
Точки А и В были выбраны произвольно, поэтому можно утверждать, что любые точки линии L будут находиться на одной окруж-ти. Докажем и обратное утверждение – любая точка, лежащая на этой окруж-ти, будет принадлежать линии L. Возьмем на окруж-ти какую-нибудь точку С и построим радиус НС:
Теперь сравним ∆О1НС и ∆О1НА. Они прямоугольные, ведь О1Н – перпендикуляр к плос-ти окружности. Катет О1Н у них общий, а катеты АН и НС одинаковы как радиусы окруж-ти. Значит, ∆О1НС и ∆О1НА равны, и потому
Это равенство означает, что С принадлежит сфере с центром в О1. Аналогично рассмотрев ∆О2НС и ∆О2НА, можно показать, что С также принадлежит и второй сфере. Тогда С принадлежит пересечению этих сфер.
Итак, всякая точка линии L лежит на окруж-ти с центром Н, и наоборот, каждая точка этой окруж-ти лежит на линии L. Это означает, что L как раз и является этой окружностью.
Отметим ещё один факт: по неравенству треугольника отрезок О1О2 должен быть меньше суммы отрезков О1А и О2А, то есть суммы радиусов сфер.
Задание. Сферы имеют радиусы 25 см и 29 см, а расстояние между их центрами составляет 36 см. Вычислите радиус окруж-ти, по которой они пересекаются.
Решение. Пусть А – одна их точек сечения. Искомый радиус обозначим как АН. В итоге получим такую картинку:
Площадь сферы
Сферическая поверхность, как и всякая другая ограниченная поверхность, имеет какую-то площадь. Напомним, что для вычисления площадей цилиндрической и конической поверхности мы строили их плоские развертки и находили площади уже этих разверток, используя формулы из планиметрии. Оказывается, что для сферы построить такую развертку невозможно. Мы не будем доказывать строго этот факт, но он известен из географии – любая карта Земли, которая как раз и должна быть разверткой сферической поверхности нашей планеты, является неточной и сильно искажает форму и размеры континентов. Если бы существовал способ построить точную развертку, то и географические карты не имели бы таких искажений.
Однако вычислить площадь сферы всё же можно по известной формуле:
Сейчас мы не будем доказывать эту формулу. Отметим лишь, что для ее получения необходимо использовать интегралы.
Задание. Какова площадь сферы с радиусом 5 см?
Решение. Просто используем формулу:
Вписанные и описанные сферы
Если каждая точка многогранника лежит на поверхности сферы, то говорят, что многогранник вписан в сферу. Тогда сферу именуют описанной, а многогранник – вписанным.
Если же сфера касается каждой грани многогранника, то уже наоборот, сфера вписана в многогранник. Тогда уже сфера будет вписанной фигурой, а многогранник – описанной.
Заметим, что не в каждый многогранник может быть вписанным или описанным. Например, в куб вписать сферу можно, а в прямоугольный параллелепипед, измерения которого отличаются, уже вписать сферу не получится.
Надо отметить, что в сферу можно вписать не только в многогранник, но и другие геометрические фигуры, в частности конус и цилиндр. Здесь нужно уточнить (без доказательства), что если касание плос-ти и сферы происходит только в одной точке, то цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы уже по окруж-ти.
Задание.Правильная пирамидавписана в сферу. Докажите, высота этой пирамиды проходит через центр сферы.
Решение. Опустим из центра сферы О перпендикуляр ОН на основание пирамиды. Далее возьмем произвольную вершину Х основания пирамиды, и соединим ее с Н отрезком ХН. По теореме Пифагора можно вычислить длину ХН (радиус сферы ОХ обозначим, буквой R):
Получилось, что расстояние ХН не зависит от самой точки Х. То есть все вершины основания равноудалены от точки, то есть Н – центр описанной около основания окруж-ти. Это означает, что перпендикуляр ОН одновременно является высотой правильной пирамиды, ч. т. д.
Задание. Вычислите радиус описанной сферы, в которую вписанправильный тетраэдрсо стороной а.
Решение. Правильный тетраэдр можно считать правильной треугольной пирамидой, поэтому (согласно предыдущей задаче) из центра сферы О можно опустить перпендикуляр на основание АВС, который упадет в точку Н – центр основания. Так как тетраэдр правильный, то ∆АВС – равносторонний, то есть Н – эта точка пересечения и медиан, и высот. Опустим из А высоту АК, она пройдет через Н. Так как АК – ещё и медиана, то
Далее найдем длину АН. Вспомним, что АН – медиана, а точка пересечения медиан Н делит их в отношении 2:1. Это значит, что
Буквой R здесь обозначен радиус описанной сферы. Осталось применить теорему Пифагора к ∆АНD:
Задание. Докажите что вокруг любого тетраэдра можно описать сферу.
Решение. Обозначим вершины произвольного тетраэдра буквами А, В, С и D. Далее на грани АВС отметим точку К – центр окруж-ти, описанной около ∆АВС. Аналогично на грани АВD отметим Н – центр окруж-ти, описанной около ∆АВD:
Напомним, что центры описанных окружностей располагаются в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Это значит, что если мы из К и Н опустим перпендикуляры на ребро АВ, то эти перпендикуляры будут серединными, то есть они попадут в одну точку М, являющуюся серединой ребра АВ.
Мы получили плос-ть НМК. Заметим, что НМК⊥АВ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как АВ⊥МН и АВ⊥МК. Но тогда АВС⊥МНК уже по признаку перпендикулярности плоскостей, ведь АВС проходит через АВ, являющийся перпендикуляром к НМК. По той же причине и АВD⊥НМК.
Далее проведем через К перпендикуляр m к АВС. Он должен будет принадлежать НМК, ведь НМК⊥АВD. Аналогично и через Н проведем перпендикуляр n к АВD, который также будет принадлежать НМК.
В плос-ти НМК есть две прямые, mи n. Они либо параллельны, либо пересекаются. Но перпендикуляры к двум плос-тям могут быть параллельны только в случае, если сами эти плос-ти параллельны (или совпадают). Но АВС и АВD непараллельны и не совпадают, поэтому m и n непаралелльны, то есть они пересекаются в какой-то точке О.
Покажем, что точка О равноудалена от всех вершин тетраэдра. Сравним ∆АОК и ∆СОК. Они прямоугольные, ведь ОК – перпендикуляр к АВС. ОК – общий катет, а катеты АК и СК одинаковы как радиусы описанной окруж-ти. Значит, ∆АОК и ∆СОК равны, ОА = ОС. Аналогично рассмотрев ∆АОК и ∆ВОК, приходим к выводу, что ОА = ОВ. Далее рассматриваем ∆ОНD и ∆ОНА и получаем, что ОА = ОD. Эти три равенства все вместе означают, что О равноудалена от точек А, В, С и D. А это значит, что на сфере с центром О и радиусом ОА будут лежать все вершины тетраэдра, то есть такая сфера окажется описанной, ч. т. д.
Примечание. Несложно доказать, что описанная сфера будет единственной. Действительно, если бы около тетраэдра можно было описать две различных сферы, то они пересекались бы в точках А, В, С и D. Сферы пересекаются по окруж-ти, то есть А, В, С и D должны лежать на одной окруж-ти, но это невозможно, ведь они не располагаются в одной плос-ти. Значит, двух описанных сфер существовать не может.
Доказанное в задаче утверждение можно сформулировать несколько иначе:
Сегодня мы изучили сферу – одну из важнейших геометрических фигур. Именно сферическую форму имеют звезды и планеты. Жидкость, оказавшаяся в невесомости, также принимает форму шара. Важно запомнить, что сечение сферы имеет форму окруж-ти, и касательные к сфере обладают почти такими ми же свойствами, как и касательные к окруж-ти в планиметрии.
